um \( A^\circ = X\setminus\overline{(X\setminus A)} \) zu zeigen, zeigst du, dass
\( A^\circ \subset X\setminus\overline{(X\setminus A)} \)
und
\( A^\circ \supset X\setminus\overline{(X\setminus A)} \)
gilt.
Es ist schon ein wenig länger her, dass ich solche topologischen Aussagen bewiesen habe. Bei der einen Richtung hätte ich aber spontan eine Idee:
\( A^\circ \supset X\setminus\overline{(X\setminus A)} \)
Wir wollen also zeigen, wenn ein \( a \in X\setminus\overline{(X\setminus A)} \) liegt, so liegt es auch in \( A^\circ \).
Sei \( a \in X\setminus\overline{(X\setminus A)} \implies a \in X \wedge a \notin \overline{(X\setminus A)} \).
Wir können die Menge \( X \) auch schreiben als \( X = (X\setminus A)\cup A \). Daraus folgt, dass \( a \in A\). Wenn \(a\) aber in der Menge \( A \) liegt, dann sicherlich auch im Inneren von A, also \( a \in A^\circ \).
Schau dir dazu am besten die Definitionen alle nochmal genau an und mach dir eine Zeichnung dazu.
Lg
