Wie zerlege ich die gebrochenrationale Funktion mittels der Partialbruchzerlegung?

Question

Aufgabe:

Wie zerlege ich die gebrochenrationale Funktion mittels der Partialbruchzerlegung ?

Funktion:

\( f(x)=-\frac{3 x-7}{(x-3)(x-4)} \)

Answer 1

Wähle den Ansatz

$$\frac{3x-7}{(x-3)(x-4)} = \frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-4}$$

und rechne rechts auf einen Bruchstrich zusammen

$$\frac{3x-7}{(x-3)(x-4)} = \frac{A*(x-4)}{(x-3)(x-4)}+\frac{B*(x-3)}{(x-3)(x-4)}$$

$$<=> \frac{3x-7}{(x-3)(x-4)} = \frac{(A+B)x -4A-3B)}{(x-3)(x-4)}$$

Koeffizientenvergleich im Zähler ergibt

A+B=3       und -4A - 3B = -7

==>  A=-2 und B=5

$$==> \frac{3x-7}{(x-3)(x-4)} = \frac{-2}{x-3}+\frac{5}{x-4}$$

Comments

da steht doch aber noch ein Minus in der Aufgabe davor

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Habe ich übersehen, aber dann ist halt A=2 und B=-5

und du fängst mit -3x+7 an.

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Ja genau, deine Antwort hat das als einzige berücksichtigt.

Somit müsste es am Ende A=2 und B=-5 heißen.

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das habe ich doch auch, bitte lesen

Answer 2

Ansatz: \( \frac{a}{x-3} \)+\( \frac{b}{x-4} \)

Auf den Hauptnenner bringen: \( \frac{(a+b)x-(4a+3b)}{/x-3)(x-4)} \)

Koeffizientenvergleich: a+b=5

                                  4a+3b=7

System lösen: a=-2, b=5

In Ansatz einsetzen: \( \frac{-2}{x-3} \)+\( \frac{5}{x-4} \)

Answer 3

Hallo,

- (3x-7)/((x-3)(x-4)) =A/(x-4) +B/(x-3) | *Hauptnenner

-3x+7 = A(x-3) +B(x-4)

Lösung durch Einsetzmethode (ist viel einfacher)

x=4 : -5 = A*(1)  --->A= -5

x=3  : -2=B(-1)   ---->B=2

Lösung:

=(-5)/(x-4) +2/(x-3)