Zwei Reihen im Produkt ergeben 1, was kann man aus dem Koeffizientenvergleich folgen?

Question

Aufgabe:

Gilt die Behauptung im Allgemeinen, wenn ja, warum?

$$ \text{Sei die Folge p(n) gegeben mit} \\ (\sum \limits_{n=0}^{\infty}c(n)x^n) * (\sum \limits_{n=0}^{\infty}p(n)x^n) = 1 \\ \text{ Mit Koeffizientvergleich folgt, dass c(n) eindeutig ist und es gilt für jedes n >= 1} \\ \sum \limits_{k=0}^{n} c(k)p(n-k) = 0 $$

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist es zu beweisen, bzw. erklären zu könen warum das gilt. Ich habe verscucht mit dem Cauchyproduktsatz zu erklären, aber da kam nix sinnvolles raus.

Answer 1

Mit dem Cauchyschen Produktsatz folgt

$$ \left( \sum_{n=0}^\infty c_n x^n \right) \cdot \left( \sum_{n=0}^\infty p_n x^n \right) = \sum_{n=0}^\infty x^n \sum_{k=0}^n c_k p_{n-k} = 1 $$ Damit folgt $$ c_0 p_0 = 1 $$ und $$ \sum_{k=0}^n c_k p_{n-k} = 0 \text{ für } n \in \mathbb{N} \ge 1 $$ D.h es muss gelten \( c_0 \ne 0 \) und \( p_0 \ne 0 \)

Comments

Das ist doch genau das was ich verstehen möchte. Ab der 2.Zeile, (also ab Damit folgt) suche ich die Erklärung.

Insbesondere wollte ich verstehen, wie das mit dem Koeffizientenvergleich im Zusammenhang steht.

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$$ \sum_{n=0}^\infty x^n \sum_{k=0}^n c_k p_{n-k} = c_0 p_0 + \sum_{n=1}^\infty x^n \sum_{k=0}^n c_k p_{n-k} = 1 $$
Hier habe ich zuerst \( n=0 \) gesetzt und dann die Summe von \( n =1 \) ab laufen lassen.
Wenn Du jetzt nach Potenzen von \( x \) ordnest, sieht man, dass es auf der linken Seite nur den Koeffizient \( c_0 p_0 \) mit der Ptotenz \( x^0 \) gibt und auf der rechten Seite steht nur \( 1 \cdot x^0 \) also muss \( c_0 p_0 = 1 \) gelten.
Da auf der rechten Seite keine Potenzen mit Exponenten gößer 1 auftreten, müssen die Koeffizienten von \( x^n \) alle Null sein. Also muss gelten $$ \sum_{k=0}^n c_k p_{n-k} = 0 $$

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Super, habs verstanden! Danke.