Wie löse ich diese DGL zweiter Ordnung mit dem Koeffizientenvergleich? y'' - 3y' + 2 y = e^2t

Question

Aufgabe:

Man löse die folgenden Differentialgleichungen mit dem speziellen Ansatz:

(a) \( y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=e^{2 t}, y(0)=-2, y^{\prime}(0)=-3 \).

(b) \( y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=\cos (t) \).

Hinweis: Löse zuerst die DG \( z^{\prime \prime}+4 z^{\prime}+4 z=e^{i t}=\cos t+i \sin t, \operatorname{der} \) entsprechend auch im Komplexen funktioniert. Die gesuchte Lösung \( y \) ist dann \( y=\operatorname{Re}(z) \).

Ansatz/Problem:

Unter (a), ich habe die DGL und ich mus sie lösen mit dem Speziellen ansatz der zu dem koeffizienten wergleich fürt:

Also es geht es so weiter:

y^ΙΙ - 3y^Ι + 2 y = e^2t*e0
y = (a+bt)*e^0t = a + bt
y^Ι = b
y^ΙΙ= 0 (Das wird in die formel eingesetzt:

0 - 3b + 2(a+bt)=e2t  also => -3b + 2a + 2bt=e^2t

Dan kommt der Koeffizienten wergleich

t=0 > -3b + 2a =e2*0 =>
=> -3b + 2a = 1 =>
=> 3b = 2a =>
=> b = 2/3 *a => b= e²/2

t=1 > -3b + 2a + 2b = e² =>
=> -b + 2a =e² =>
=> -2/3a + 2a =e² =>
=> a =3/4 * e²

dan wen man das einsetzt in Y= a + bt, kommt raus:

y= 3/4 *e² + e²/2 * t; doch wen man das jetzt ableitet bekommen wir
y^Ι= 3/4 *e² und dan nochmall
y^ΙΙ= 0.

DOch wen ich das jetzt alles in die formel ganz am anfgan stelle kommt etwass total anderes raus und nicht e^2t

Könnte mir jemand sagen wo ich den Fehler mache?

Answer 1

Die Lösungen der charakteristischen Gleichung sind:

1 und 2

Da aber die 2 auch in der Störfunktion einmal vorkommt, entsteht folgender Ansatz für die partikuläre Lösung:

y_p= t(A *e^{2t})

Das heißt, die 2 von der Störfunktion ist einmal als Lösung in der charakteristischen Gleichung.

Hierfür gibt es Tabellen für den Ansatz. Zum Beispiel: http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf (Schau unter Punkt 2, das ist alles. Ob C oder A, die Bezeichnung ist egal.)

Y_p musst Du 2 Mal ableiten und in die Aufgabe einsetzen, dann erfolgt der Koeffizientenvergleich.

Comments

Danke für die Tabelle, die wurde uns nicht gegeben. Nur leider verstehe ich immer noch nicht, was der Parameter A ist.

Zum Beispiel in der zweiten Tabelle hat er für das Beispiel DGL = 3*e^4x hat er Yp=1/6 e^4x geschrieben. Wie ist er jetzt auf 1/6 gekommen?

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es ist immer das gleiche Schema

-Ansatz für die part. Lösung finden

- dann in unserem Fall y(p) 2. Mal  Ableiten

- y(p), y(p)' und y(p)'' in die Aufgabe einsetzen

-Koeffizientenvergleich

-Lösung :1/6

-Einsetzen von 1/6 in den Ansatz für y_p

----->y_p= 1/6 e^{4x}