DGL Zweiter Ordnung mit Unbekannten -x''+2ax'-bx = e-2t . Bestimme zwei reelle Basislösungen

Question

ich habe folgende DGL zweiter Ordnung gegeben:

-x''+2ax'-bx = e^-2t

Aufgabe:

Sei a > 0 gegeben. Für welchen Parameter b > 0 hat die homogene Differentialgleichung zwei reelle Basislösungen?

Wie ich vorgehen würde:

-x''+2ax'-bx = e^-2t |*(-1)

= x''-2ax'+bx = -e^-2t

= x''-2ax+bx = 0

= λ²-2aλ+b = 0

PQ Formel:

λ1,2 = a+-sqrt(a²-b)

Damit habe ich ja meine Nullstellen λ 1 und λ 2.

Jetzt würde ich die homogene Lösung aufstellen:

Xh(t) = c1*e^{a+sqrt(a^2-b)} + c2*e^{a-sqrt(a^2-b)}

Aber jetzt müsste ich ja noch die zwei reelle Basislösungen bestimmen oder?

Wie geh ich denn da vor? Vielleicht hier die Anmerkung das ich mir nicht 100% sicher bin was mit den  zwei reellen Basislösungen gemeint ist.

Answer 1

Wenn $$\sqrt{a^2-b} \in \mathbb{R}$$ sein soll, dann muss $$a^2-b \ge 0$$ erfüllt sein.

Wenn $$a^2-b \lt 0$$ wird die Basislösung im wahrsten Sinne des Wortes komplex .

Wenn $$a^2-b = 0$$ haben wir nur eine Lösung mit zweifacher Mannigfaltigkeit.

Es ist also doch nicht so gut, wenn man den Mittelstufenstoff nach der Klassenarbeit einfach wieder vergißt ...

... bei der Lösung der DGLs kann man den alten Kram dann auch endlich mal wieder gebrauchen !