Hallo,
mit dem Lösungshinweis geht es so:
$$\frac{d}{dx}\left[-y'(x)^{-1}+\exp(y(x))\right]=y'(x)^{-2}y''(x)+\exp(y(x))y'(x)=0$$
Daher ist die Funktion in den eckigen Klammern konstant. Wegen der vorgegebenen Anfangsbedingungen ist diese Konstante gleich 0, also
$$-y'(x)^{-1}+\exp(y(x))=0 \Rightarrow 0=\exp(y(x))y'(x)-1=\frac{d}{dx}\left[\exp(y(x))-x\right]$$
Mit der Anfangsbedingung folgt:
$$\exp(y(x))-x=1 \Rightarrow y(x)=\ln(1+x)$$
Gruß Mathhilf