Differentialgleichung zweiter Ordnung: y"(x)+4y´(x)+13y(x) = 145 * cos (2x)

Question

ich habe folgende Frage.

Gegeben sei mir diese Differenzialgleichung:

y"(x)+4y´(x)+13y(x) = 145 * cos (2x)

Hierzu soll die Allgemeine Lösung berechnet werden.

Ich habe es bis zum Einsetzen in die DGL geschafft ich hoffe es stimmt:

Vorher habe ich folgendes gemacht:

1) Zugehörige homogene DGL gelöst (PQ-Formel) -> Ergebnis -2 +/- i 3

2)Aufsuchen von yp(x)

Einsetzen in DGL -> Ergebnis:

-9*A*sin(3x)-9*B*cos(3x)+9(3*A*cos(3x)-3*B*sin(3x)+13*(A*sin(3x)+B*cos(3x)=145*cos(2x)

Würde das Ergebnis so stimmen? Bei mir schleichen sich oft Fehler ein :(

Wie bestimme ich denn jetzt die Allgemeine Lösung, ich weiß nicht mehr weiter.

Mit freundlichen Gruß

Paul

Answer 1

Hallo

sin(3x) und cos(3x) kann ja gar nicht sein , Schreibfehler oder?

der Ansatz für y_p lautet:

y_p= A *cos(2x) +B*sin(2x)

Du mußt y_p 2 Mal ableiten und einsetzen.

Weiter geht es dann mit Koeffizientenvergleich

Comments

Schon mal vielen Dank für deine Antwort :)

Oh sorry ja stimmt 2 sollte es sein...

Dann wäre es wie folgt:

-4*A*sin(2x)-4*B*cos(2x)+4(2*A*cos(2x)-2*B*sin(2x)+13*(A*sin(2x)+B*cos(2x)=145*cos(2x)

So müsste es jetzt hoffentlich stimmen.

Okay der Koeffizientenvergleich wäre dann:

sin(2x)[-4A-8B+13A]+cos(2x)[-4B+8A+13B]=145*cos(2x)

Wie muss man jetzt weiter verfahren?

---

ja das stimmt,

Du kannst doch A und B noch weiter zusammenfassen.

---

oh sorry hatte ich übersehen, hab dann folgendes:

sin(2x)[-8B+9A]+cos(2x)[+8A+9B]=145*cos(2x)

Ist das denn meine allgemeine Lösung oder fehlt mir noch ein Schritt?

---

Du bist noch nicht fertig.

Jetzt führst Du den Koeffzientenvergleich durch (Vergleich der Koeffizienten links und rechts vom Gleichheitszeichen)

für sin(2x):   -8B+9A=0

für cos(2x):   8A+9B= 145

Du hast 2 Gleichungen mit 2 Variablen, das ist einfach zu lösen

Y= y_h +Y_p

Answer 2

Hi,
die Eigenwerte für die homogene Dgl. stimmen und lauten \( \lambda_{1,2} = -2 \pm 3i  \) Damit ergibt sich als reelle Lösung des homogenen Problems
$$ y_H(x) = Ae^{-2x}cos(3x) + Be^{-2x}sin(3x) $$
Für die inhomogene Lösung macht man den Ansatz
$$ y_I(x) = C_1sin(2x) + C_2cos(2x) $$ differenzieren und einsetzten in die Dgl. mit anschließendem Koeffizientenvergleich ergibt \( C_1 = 8 \) und \( C_2 = 9 \)
Die allg. Lösung lautet demnach
$$ y(x) = y_H(x) + y_I(x) $$ Die Konstanten \( A \) und \( B \) werden durch die Anfangsbedingungen festgelegt, die Du hier noch nicht gegeben hast.

Comments

Alles klar hab es verstanden...Vielen Dank an euch :)