Finde eine Funktion f: R → R, die nur in einem Punkt stetig ist. (stetige und unstetige Funktionen)

Question

Aufgabe:

Verwendie die \( \varepsilon \) - \( \delta \)-Definition der Stetigkeit, um zu zeigen, dass die Funktion \( f:[0,1] \longrightarrow R, x \mapsto \sqrt{1-x^{3}} \) stetig in \( [0,1] \) ist.

Sei \( f: \mathbb{R} \longrightarrow R \) eine Funktion und \( L \in \mathbb{R}_{>0} . \) Zeige, wenn \( |f(x)-f(y)| \leq L \cdot|x-y| \) für alle \( x, y \in R \) gilt, so ist \( f \) stetig in \( \mathbb{R} \).

Finde eine Funktion \( f: R \longrightarrow R \), die nur in einem Punkt stetig ist.

Answer 1

Das 3. ist einfach:
f(x) = x für x aus Q 
      =  -x  für x aus R \ Q
ist nur bei 0 stetig.

bei 2:
Sei eps > 0, zu zeigen:
zu jedem x aus R gibt es ein delta mit
| x-y | < delta  hat zur Folge  | f(x) - f(y) | < eps.

Sei also x aus R.
wähle delta = eps/L , und  nach Vor.
ist ja | x-y | ≥   | f(x) - f(y) | / L

Also gilt  für   | x-y | < delta
                          | f(x) - f(y) | / L < delta  =  eps/L
                          | f(x) - f(y) | < eps   q.e.d.