Bestimmen Sie Cov(X-2,Y+5).

Question

Aufgabe:

1. Es seien X,Y Zufallsgrößen mit σ2x=3, σ2y=5 und σxy= -2. Bestimmen Sie Cov(X-2,Y+5).

2. Es seien X,Y Zufallsgrößen mit σ2x=3, σ2y=5 und σxy= -2. Berechnen Sie Cov (X+Y, 2X)

3. Es seien X,Y Zufallsgrößen mit -"- . Brechen Sie Cov(3X-Y, X+2Y).

4. Es seien X,Y Zufallsgrößen mit -"- . Berechne Sie Cov (X-5Y + 3, 7X-2).

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand helfen, die Lösung Schritt für Schritt zu berechnen bzw. gibt es hierfür ein bestimmtes Schema/Rechenregeln, weil ich habe hier noch keinen Durchblick. :)

Lösungen:

1. -2

2. 2

3. -11

4. 91

Comments

gibt es hierfür ein bestimmtes Schema/Rechenregeln

Ja, die gibt es. Was sagen denn deine Aufzeichnungen der Vorlesung dazu? Es nutzt nichts, nur das Tafelbild abzuschreiben. In der Regel ist das dort Präsentierte dazu gedacht, hinterher angewendet zu werden.

Schlimmstenfalls kannst du hier nachschlagen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Kovarianz_(Stochastik)

Wenn du den Zusammenhang zwischen deinen Bezeichnungen und den Wikipedia-Bezeichnungen nicht herstellen kannst: Var(X) bezeichnet die Varianz von X.

σ²_x=3 bedeutet also Var(X)=3.

Answer 1

Aloha :)

Die Covarianz ist eine sog. Bilinearform, das heißt, sie ist linear in beiden Komponenten. Dann sollte man noch wissen, dass die Covarianz einer Zufallsvariablen mit einer Konstanten null ist, weil bei einer Konstanten nichts variiert.

zu a) \(\quad \sigma^2_x=3\;;\;\sigma^2_y=5\;;\;\sigma_{XY}=-2\)$$\operatorname{Cov}(X-2,Y+5)=\operatorname{Cov}(X,Y+5)+\underbrace{\operatorname{Cov}(-2,Y+5)}_{=0}$$$$\quad=\underbrace{\operatorname{Cov}(X,Y)}_{=\sigma_{XY}}+\underbrace{\operatorname{Cov}(X,5)}_{=0}=\sigma_{XY}=\boxed{-2}$$

zu b) \(\quad \sigma^2_x=3\;;\;\sigma^2_y=5\;;\;\sigma_{XY}=-2\)$$\operatorname{Cov}(X+Y,2X)=\operatorname{Cov}(X,2X)+\operatorname{Cov}(Y,2X)=2\operatorname{Cov}(X,X)+2\operatorname{Cov}(Y,X)$$$$\quad=2\sigma_X^2+2\sigma_{XY}=2\cdot3-2\cdot2=\boxed{2}$$

zu c) \(\quad \sigma^2_x=3\;;\;\sigma^2_y=5\;;\;\sigma_{XY}=-2\)$$\operatorname{Cov}(3X-Y,X+2Y)=\operatorname{Cov}(3X,X+2Y)+\operatorname{Cov}(-Y,X+2Y)$$$$\quad=\operatorname{Cov}(3X,X)+\operatorname{Cov}(3X,2Y)+\operatorname{Cov}(-Y,X)+\operatorname{Cov}(-Y,2Y)$$$$\quad=3\operatorname{Cov}(X,X)+6\operatorname{Cov}(X,Y)-\operatorname{Cov}(Y,X)-2\operatorname{Cov}(Y,Y)$$$$\quad=3\sigma_X^2+5\sigma_{XY}-2\sigma_Y^2=3\cdot3+5\cdot(-2)-2\cdot5=\boxed{-11}$$

zu d) \(\quad \sigma^2_x=3\;;\;\sigma^2_y=5\;;\;\sigma_{XY}=-2\)$$\operatorname{Cov}(X-5Y+3,7X-2)=\operatorname{Cov}(X-5Y,7X)=\operatorname{Cov}(X,7X)+\operatorname{Cov}(-5Y,7X)$$$$\quad=7\operatorname{Cov}(X,X)-35\operatorname{Cov}(Y,X)=7\sigma_X^2-35\sigma_{XY}=7\cdot3-35\cdot(-2)=\boxed{91}$$