Da die Lösung besteht aus einer homogenen und einer inhomogenen Lösung. Die homogene Lösung ist
$$ y_h(x) = C_1 e^{5x} + C_2 x e^{5x} $$ und die inhomogene Lösung ist $$ y_i(x) = x^2 $$
Bei der homogenen Lösung sieht man aus der Form der Lösung, dass man sich im aperiodischen Grenzfall befindet. Das ist dann der Fall, wenn die charakterische Gleichung zwei gleiche Lösungen hat., hier \( \lambda = 5 \).
Die homogene Dgl. sieht dann also so aus $$ y''(x) - 10 y'(x) + 25 y(x) = 0 $$ Jetzt die inhomogene Lösung einsetzen, dann bekommt man \( 25 x^2 - 20 x+2 \).
Also lautet die gesuchte Dgl.
$$ y''(x) - 10 y'(x) + 25 y(x) = 25 x^2 - 20 x+2 $$
Sollte man nachrechnen, bzw. auch von der Dgl. die Lösungen berechnen.
