Könnte ich in diesem Fall die natürlichen Zahlen als UR nennen?

Question

Oder wäre mein W2 einfach C ohne R?

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Wenn mit Unterraum ein Untervektorraum wie auf Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Unterraum

gemeint ist, dann sind die natürlichen Zahlen kein Unterraum, denn: Sei$$ u=1 \in\mathbb{N}$$ und sei $$ k=\sqrt{2}\in\mathbb{R}$$

Dann:$$k*u\notin\mathbb{N}$$, bzw. die natürlichen Zahlen sind über den reellen Zahlen nicht bzgl. skalarer Multiplikation abgeschlossen.

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Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Könnte man dann die Reellen Zahlen \ 0 als UR nennen?

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Hallo

die reelle Achse  bzw. alle z mit x+0*i x in R kann man als UR von C betrachten, ebenso die imaginäre Achse z=0+i*r

oder eine Gerade z=r*(1+i) wäre ein anderer UR

C selbst kann man als Paare (x,y) in R^2 betrachten, (wobei das Produkt von Paaren richtig definiert werden muss)  Summe und Produkt mit Skalar ist von alleine richtig.

Gruß lul

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Nein, weil die Grundkörper nach wie vor die reellen Zahlen sind und dann die Multiplikation mit der 0 nicht mehr klappt. Allgemein gilt, dass der Nullvektor in jedem Unterraum ist.

Vielleicht hilft die folgende Überlegung weiter: Du kannst ja die komplexen Zahlen mit der reellen Ebene identifizieren, d.h.

$$\mathbb{c}\cong\mathbb{R^2}$$. Außerdem gilt ja für den Unterraum W1 folgendes:

$$W1=\mathbb{R}=\left\{(x,0)|x\in\mathbb{R}\right\}$$ Dies ist offensichtlich ein Unterraum (warum?). Um jetzt die Ebene der komplexen Zahlen zu bekommen fehlt nicht mehr viel, du musst für W2 nur noch die andere Achse nehmen und die imaginäre Einheit entsprechend einfügen (Bedenke, dass sich jede komplexe Zahl so schreiben lässt: z=x+iy). Der Beweis, dass das ein Unterraum ist, läuft analog zu W1.

Answer 1

Oder wäre mein W2 einfach C ohne R?

Das ist kein Unterraum; denn 1+i und 1-i wären beide

darin, aber deren Summe 2 nicht.

Versuche es mal mit x*i und x∈ℝ.

Comments

$$W2=\left\{(0,ix)|x\in\mathbb{R}\right\} $$

ist ein Unterraum. Dann bilden W1 und W2 sogar eine direkte Summe von C

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Dankeschön! :)