man kann hier mit der Kombinatorik arbeiten. Wählen wir dazu erstmal ein kleineres Beispiel:
Seien \(A := \{ a,b,c\}\) und \(B := \{ e,f,g,h,i \}\).
Würden wir jetzt alle Abbildungen aufzählen, würden wir systematisch alle Möglichkeiten, die es gibt, durchgehen.
Schauen wir uns mal die erste Möglichkeit an:
\( a \mapsto e\)
\( b \mapsto e \)
\( c \mapsto e \)
Das wäre eine Abbildung. Nun können wir aber noch eine bauen:
\( a \mapsto e\)
\( b \mapsto e\)
\( c \mapsto f \)
Es geht aber auch noch
\( a \mapsto h \)
\( b \mapsto i \)
\( c \mapsto f \)
und so weiter.
Kombinatorisch überlegt man sich das jetzt folgendermaßen:
Die Menge \( A \) hat \( 3 \) Elemente und die Menge \( B \) hat \( 5 \) Elemente.
Kurz: \( |A| = 3, |B| = 5 \) oder \( \sharp A = 3, \sharp B = 5 \) , je nach dem, wie ihr es definiert habt.
Nehmen wir uns nun ein Element aus \( A \), zum Beispiel \( b \), so werden wir feststellen, dass es genau \( 5 \) Möglichkeiten gibt, also genau \( 5 \) Elemente, auf die wir \( b \) zuordnen können.
Das gleiche gilt für \( c \), auch hier gibt es wieder \( 5 \) Möglichkeiten.
Damit gibt es für das kleine Beispiel \( \underbrace{5 \cdot 5 \cdot 5}_{3 \times} = 5^3 \) Möglichkeiten. In der Kombinatorik nennt man dies Variation mit Wiederholung.
Allgemein für deinen Fall gilt damit, wenn wir \(\sharp M = m\) und \( \sharp N = n\) setzen, dass es
\( n^m \) Abbildungen gibt.
Bei deiner zweiten Aufgabe machst du es ähnlich. Da berechnest du erstmal ALLE Möglichen Abbildungen, auch die, die nicht surjektiv sind, mit der hergeleiteten Formel.
Nun überlegst du dir, wie viele nicht-surjektive Abbildungen es geben kann und ziehst die dann von allen Abbildungen ab. Also in etwa so:
\( \sharp\) (Menge aller surj. Abb.) \(= \sharp \)(Menge aller Abbildungen) \(- \sharp \)(Menge aller nicht-surj. Abb.).
Lg
