Differenzierbarkeit prüfen im Kontext

Question

Aufgabe:

Differenzierbarkeit prüfen im Kontext:

Eine angestoßene Kugel fällt in einem Bogen von einem Garagendach hinunter. Die Höhe H gegenüber dem Boden lässt sich mit der Funktion H in Abhängigkeit der Zeit t bestimmen:

H(t) = 3,2                  Für 0 < t < 1

H(t) = 3,2-5(t-1)^2      Für 1 < t < 1,8

H(t) = 0                      Für 1,8 < t < 3

a) Bestimmen Sie die Ableitung von H für t = 0,5; t = 1,5 und t = 2,5

b) Untersuchen Sie, ob die Funktion H an den Stellen t = 1 bzw. t = 1,8 differenzierbar ist.

c) Ordnen Sie Ihre Ergebnisse in den Sachkontext ein. Formulieren Sie Einwände zum Modell.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe überhaupt nicht was man dort machen soll, da wir nie sowas im Unterricht gemacht haben und der Lehrer meinte wir sollen uns das selbst beibringen jedoch finde ich nirgends eine Erklärung dazu.

Es wäre nett wenn jemand die Aufgabe machen könnte, und mir diese erklären würde :)

Answer 1

H(t) = 3,2                  Für 0 < t < 1

H(t) = 3,2-5(t-1)2      Für 1 < t < 1,8

H(t) = 0                      Für 1,8 < t < 3

a) Bestimmen Sie die Ableitung von H für t = 0,5; t = 1,5 und t = 2,5

Die Kugel ist auf dem Garagendach. Die Steigung ist
f ´( 0.5 ) = 0
2.Abschnitt
f ´( t ) = 10 - 10 *t
f ´( 1.5 ) = 10 - 15 = - 5
3.Abschnitt
Die Kugel bewegt sich auf dem Boden.
f ´ ( 2.5 ) = 0

b) Untersuchen Sie, ob die Funktion H an den Stellen t = 1 bzw. t = 1,8 differenzierbar ist.
lim t -> 1(-) : f ´( 1(-) ) = 0
lim t -> 1(+) : f ´( 1(+) )  = 10 -10 *1 = 0
Die links- und rechtsseitig Steigung ist gleich.

bzw. t = 1,8 differenzierbar ist.
lim t -> 1.8(-) : f ´( 1.8(-) ) = 10 -10 *1 = 10 - t * 1.8 = -8
lim t -> 1.8(+) : f ´( 1.8(+) )  = 0
Die links- und rechtsseitig Steigung ist nicht gleich.
Die Funktion ist bei t = 1.8 nicht diffbar.

c) Ordnen Sie Ihre Ergebnisse in den Sachkontext ein. Formulieren Sie Einwände zum Modell.

Bei Fragen wieder melden.
Schaue jetzt aber fern.

Comments

Erstmal Dankeschön! Jedoch verstehe ich nicht wie sie bei a) auf den 2. Abschnitt gekommen sind. Sie haben dort ja geschrieben 10-10^t, woher kommt diese 10?

Und bei b) haben sie auch wieder 10-10^1, woher kommen hier auch die 10?

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H(t) = 3,2-5(t-1)^2 

1:Ableitung
H ´( t ) = -5 * 2* ( t - 1) * 1
H ´( t ) = -10 * t + 10

Eine andere Art der Ableitung,
vorher ausmultiplizieren
H ( t ) = 3,2 -5 * (t-1)^2 
H ( t ) = 3.2 - 5 * ( t^2 - 2t + 1 )
H ( t ) = 3.2 - 5 * t^2 + 10 * t - 5
H ´( t ) = -10t + 10

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Achso okay Dankeschön jetzt habe ich es verstanden. Jedoch haben sie bei b) irgendwie geschrieben:

lim t -> 1(-) : f ´( 1(-) ) = 0

lim t -> 1(+) : f ´( 1(+) )  = 10 -10 *1 = 0

Und:

lim t -> 1.8(-) : f ´( 1.8(-) ) = 10 -10 *1 = 10 - t * 1.8 = -8
lim t -> 1.8(+) : f ´( 1.8(+) )  = 0

Mein Problem ist ich verstehe gar nicht wie sie genau dort vorgegangen sind bzw. Woher sie die einzelnen Werte nehmen und wieso ich genau diese nehmen muss bzw. In welchem Zusammenhang diese stehen. Könnten sie mir dies vielleicht Schritt für Schritt detailliert erklären? Das wäre unglaublich nett.

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Mein Problem ist das ich nicht weiß was
deine Vorkenntnisse sind.
Wir haben es mit einer Funktion zu tun
welche in 3 Teile aufgeteilt ist.
Die Funktion ist angegeben.
Jetzt soll geprüft werden ob die
3 Teilfunktionen an den Nahtstellen
zueinander passen = Differenzierbarkeit.

Definition Differenzierbarkeit

Die Funktion muß stetig sein =
die Koordinaten müssen dieselben sein
f1 ( 1 ) = f2 ( 1 )
f2 ( 1.8 ) = f3 ( 1.8 )

Die Steigung muß dieselbe sein

f1 ´ ( 1 ) = f2 ´( 1 )
f2 ´( 1.8 ) = f3 ´( 1.8 )

Nahtstelle f1 / f2 :
Koordinaten stimmen überein / Steigung stimmt überein

Nahtstelle f2 / f3 :
Koordinaten stimmen überein / Steigung stimmt nicht überein ( Knick )

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Dankeschön!

Was meine Vorkenntnisse angeht, ich habe eigentlich in dem Bereich keine Kenntnisse. Wir haben in letzter Zeit den Differentialquotienten und den Differenzenquotienten gemacht( bin in der 10ten Klasse eines Gymnasiums) auch mit h- Methode. Jetzt sollten wir uns Differenzierbarkeit selbst beibringen, da der Lehrer keine Lust hatte uns es im Unterricht zu erklären.

Von daher kenne ich mich eigentlich 0 aus.