Mengenbeweis kartesisches Produkt

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie:

(A × B) \ (C × D) = (A × (B \ D)) ∪ ((A \ C)  B)

Problem/Ansatz:

Leider habe ich keine Idee, wie ich das Beweisen soll. Ich würde die Definitionen für x,y jeweils aufschreiben und umformen. Allerdings komme ich da nicht weit. Könnt ihr mir helfen? Ich habe noch weitere dieser Aufgaben und eine richtige würde mir als Orientierungshilfe geben.

Comments

Ich habe jetzt wie folgt argumentiert:

Sei (x,y) beliebig aus (A×B)\(C×D)
D.h., (x,y)∈A×B und (x,y)∉C×D => x∈A, y∈B und (x∉C oder y∉D).
1. Fall x∉C => x∈A\C => (x,y)∈(A\C)×B.
2. Fall y∉D => y∈B\D => (x,y)∈A×(B\D)
Also, (x,y)∈(A×(B\D))∪((A\C)×B)

Answer 1

Hallo,

Deine Überlegungen sind richtig, allerdings hast Du sie nur in einer "Richtung" aufgeschrieben. Sie lassen sich aber mühelos in beiden "Richtungen" aufschreiben.

Benutze, dass für Aussagen p,q,r gilt: \(p \land (q \lor r) \iff (p \land q) \lor (p \land r) \)

$$(x,y) \in (A \times B) \setminus (C \times D) \iff (x \in A \land y \in B) \land (x \notin C \lor y \notin D)$$

$$\iff (x \in A \land y \in B \land x \notin C) \lor (x \in A \land y \in B \land y \notin D)$$

$$\iff (x \in A \setminus C \land y \in B) \lor (x \in A \land y \in B \setminus D)$$

$$\iff (x,y) \in [(A \setminus C) \times  B] \cup [ A \times  (B \setminus D)]$$

Gruß