Stammfunktionen - Differentialgleichung y‘= 2y

Question

Aufgabe:

Gib alle Funktionen f: y = f (x) an, welche y‘= 2y erfüllen.

Problem/Ansatz:

Wie muss ich da rechnen?

Mit dy/dx = 2y oder? Aber muss ich auf dx oder dy umformen, und warum?

(Ich hab bei dem noch Schwierigkeiten, kennt ihr eventuell Videos (YouTube) wo ich mir das mal anschauen kann? ^^ )

Answer 1

Hallo,

Mit dy/dx = 2y oder? -Ja, stimmt

y'=2y

dy/dx= 2y ->Trennung der Variablen , y auf die eine Seite, x auf die andere Seite

∫ dy/y=∫ 2 dx

ln|y|= 2x+C |e hoch

|y|= e^(2x+C) = e^(2x) * e^C

y= e^(2x) *  ± e^C ; ± e^C =C₁

y= C₁ e^(2x)

y=0 ist auch eine Lösung.

Answer 2

dy/dx = 2y ist doch schon gut. dann variablen trennen

1/(2y) dy = dx und integrieren ∫ 1/(2y) dy = ∫ dx

0,5   ∫ 1/y dy = ∫ dx

==>  0,5 * ln(y) =  x + C

ln(y) =  2x + 2c

y =  e^( 2x + 2c ) = e^(2x) * K

Answer 3

Aloha :)

Wenn du die Logarithmus-Funktion ableitest, bekommst du mit Hilfe der Kettenregel:$$\left(\ln f(x)\right)'=\underbrace{\frac{1}{f(x)}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{f'(x)}_{=\text{innere}}=\frac{f'(x)}{f(x)}\quad\implies\quad\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln f(x)+\text{const}$$Diese Art von Integralen, wo die Ableitung des Nenners im Zähler steht, kommt bei Differentialgleichungen sehr oft vor. Mit Hilfe der gerade gezeigten Regel, kannst du diese Integrale sofort hinschreiben.$$y'(x)=2y(x)\implies \frac{y'(x)}{y(x)}=2\implies\ln y(x)=2x+\mathrm{const}\implies y(x)=e^{2x+\mathrm{const}}$$$$\implies y'(x)=e^{2x}\cdot\underbrace{e^{\mathrm{const}}}_{=:\,c}\implies y'(x)=c\cdot e^{2x}\;\;;\;\;c=\text{const}$$