Gerade in Logarithmischen Koordinatenachsen in Funktion umwandeln

Question

Aufgabe:

Ein gegebener Graph in eine Funktion umwandeln mit logarithmischen? Achsen

Problem/Ansatz:

Wie kann ich für diesen Graph eine Funktion herleiten.

Ich konnte darauf Punkte ablesen wie:

x	y
1	3,15
10	20
100	100
1000	800
10000	3000

bitte um Vorschläge und Lösungswege

vg coffeecup

Answer 1

Aloha :)

Wir haben hier sowohl auf der \(x\)-Achse als auch auf der \(y\)-Achse eine logarithmische Darstellung mit Faktor \(10\). Die dargestellte Gerade mit der Steigung \(m\) und dem Achsenabschnitt \(b\) stellt also folgenden Zusammenhang dar:$$\lg(y)=m\cdot\lg(x)+b$$Die Parameter \(m\) und \(b\) müsstest du aus der Geraden entnehmen. Dann kannst du damit die Funktionsgleichung angeben, denn:$$y=10^{\lg(y)}=10^{m\cdot\lg(x)+b}=10^{m\cdot\lg(x)}\cdot10^b=10^b\cdot x^m$$Der dargestellte Zusammenhang lautet also:$$y(x)=c\cdot x^m\quad;\quad c\;:\!=10^b$$

Ich habe versucht, aus deinen Werten \(m\) und \(b\) zu berechnen, aber die Ablesefehler bei der doppelt logarithmischen Darstellung sind einfach zu groß. Ich würde mir die Gerade daher neu zeichen, sodass beide Koordinatenachsen am Ursprung beginnen und dann \(m\) bzw. \(b\) anhand der Geraden anstatt einzelner Punkte bestimmen.

Answer 2

Wenn ich die Gerade ausgleiche, komme ich auf

$$y = e^{1,20646+0,755974*ln x}$$

Das führt aber zu

f(1)=3,34; f(10)=19,05; f(100)=108,62;

f(1000)=619,27 und f(10000)=3530,65

Wenn wir die Ränder annehmen,

$$y= e^{1,1474+0,7447 ln x}$$

führt zu

f(1)=3,15 ; f(10000)=3000; f(10)=17,5;

f(100)=97 und f(1000)=540

Die Gerade wurde wie folgt ausgeglichen

Ansatz:

$$ln y=a+m* ln x$$

$$A*x=lny$$

$$x=(A^TA)^{-1}AT lny$$

Mit

$$A= \begin{pmatrix} 1 & ln 1\\ 1 & ln 10\\1&ln 100\\1&ln1000\\1&ln10000 \end{pmatrix} $$

$$x=\begin{pmatrix} a \\ m\end{pmatrix} ; lny=\begin{pmatrix} ln 3,15  \\ ln 20\\ln 100\\ln 800\\ln 3000\end{pmatrix} $$