Bestimmen Sie die Zahl β so, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat.

Question

Aufgabe:

Beim Lösen eines Gleichungssystems entstand die folgende Gleichungsmatrix:

\( \left(\begin{array}{rrr|r}1 & 7 & -10 & 17 \\ 0 & 15 & -10 & 28 \\ 0 & -45 & \beta & -84\end{array}\right) \)

Bestimmen Sie die Zahl β so, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat.

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand Schritt für Schritt eine Lösung erklären.

Answer 1

-45 +3*15=0

-84+3*28=0

β+3*(-10)=0

Den Rest zeigt der geneigte Leser.

Answer 2

Aloha :)

Damit das Gleichungssystem nicht genau eine Lösung hat, muss die Determinante der Koeffizientenmatrix gleich null sein. Diese Determinante kann man hier, wegen der \((1;0;0)^T\)-Spalte ganz links, sofort hinschreiben:$$0\stackrel!=15\beta-450\implies 15\beta=450\implies\beta=30$$Man erkennt auch, dass sich für \(\beta=30\) die zweite und die dritte Zeile des Gleichungssystems um den Faktor \(-3\) unterscheiden. Wir haben also für 3 Unbekannte nur 2 Gleichungen, sodass immer eine Variable frei wählbar ist und das LGS unendlich viele Lösungen hat.