Wieviele Stunden Maschinenzeit bleiben mindestens unter diesen Voraussetzungen für andere Zwecke übrig?

Question

Aufgabe:

Bei der Herstellung der beiden Produkte E1 und E2 werden ein Rohstoff A (ME) und Maschinenzeit M (h) eingesetzt. Von A befindet sich ein Vorrat von 8 ME auf Lager, Maschinenzeit steht mit maximal 25 h zur Verfügung. E1 
benötigt 1 ME von A und 3 h Maschinenzeit pro Einheit, für E2 werden 2 ME von A und 5 h Maschinenzeit benötigt. Die Kapazität an Maschinenzeit muß nicht zur Gänze ausgeschöpft werden, wohl aber soll der gesamte Lagerbestand von A verbraucht werden. Wieviele Stunden Maschinenzeit bleiben mindestens unter diesen Voraussetzungen für andere Zwecke übrig?

Problem/Ansatz:

Ich bekomme 4 raus, die Lösung soll aber 1 sein.

Answer 1

Aloha :)

Aus dem Aufgabentext entnehmen wir den Verbrauch an \(A\) und den Verbrauch an \(M\) in Anhängigkeit von der Anzahl \(E_1\) und \(E_2\) der gefertigten Produkte.$$1\cdot E_1+2\cdot E_2=A=8\quad;\quad3E_1+5E_2=M\le25$$Der Bestand von \(A=8\) soll vollständig verbraucht werden und von \(M\) stehen maximal \(25\) Einheiten zur Verfügung.

Wir stellen die erste Gleichung nach \(E_1\) um$$E_1=A-2E_2=8-2E_2$$und setzen das Ergebnis in die Ungleichung ein:$$3(8-2E_2)+5E_2\le25\implies24-6E_2+5E_2\le25\implies-E_2\le1\implies E_2\ge-1$$Da \(E_2\) nicht negativ werden kann, ist der kleinste mögliche Wert \(E_2=0\). Damit ist dann$$E_1=A-2E_2=8-2\cdot0=8$$$$M=3E_1+5E_2=3\cdot8+5\cdot0=24\le25$$Bei der Fertigung von 8 Einheiten \(E_1\) werden also alle Resourcen von \(A\) verbraucht und von der Resource \(M\) bleibt \(1\) Einheit übrig.