Gleichungssystem mit 4 Unbekannten lösen, 3 Unbekannte bleiben bei Umwandlung übrig

Question

Aufgabe: Der Graph der ganzrationalen Funktion dritten Grades geht durch die Punkte (1|-3), (2|-7), (3|-7), und (4|3). Bestimme die Gleichung der Funktion.

Problem/Ansatz: Aus den genannten Punkten erschließen sich mir folgende vier Gleichungen für das Gleichungssystem:

(ausgehend von der allgemeinen Formel für eine Funktion dritten Grades: ax³+bx²+cx+d

I.: a+b+c+d=-3

II.: 8a+4b+2c+d=-7

III.: 27a+9b+3c+d=-7

IV.: 64a+16b+4c+d

Nun stellt sich mir die Frage wie ich dieses Gleichungssystem lösen soll, denn egal wie ich es drehe und wende, bleiben bei mir immer 3 Unbekannte übrig, die ich nicht kenne. Wie soll ich hier vorgehen? Was ist der beste Weg um ein solches Gleichungssystem zu lösen?

Answer 1

I.: a+b+c+d=-3
II.: 8a+4b+2c+d=-7
III.: 27a+9b+3c+d=-7
IV.: 64a+16b+4c+d=3

d eliminieren

I.: a+ b+ c+ d=-3
II.: 7a+3b+c  = -4
III.: 26a+8b+2c  =-4
IV.: 63a+15b+3c  =6

mit der 2. Gleichung bei 3 und 4 c eliminieren

I.: a+ b+ c+ d=-3
II.: 7a+3b+c =-4
III.: 12a+2b     =4
IV.: 42a+6b     =18

Jetzt noch das 3-fache von Nr. III bei IV abziehen

I.: a+ b+ c+ d=-3
II.: 7a+3b+c =-10
III.: 12a+2b   =-24
IV.:  6a         =6   ==>   a = 1

mit III dann b bestimmen etc.

Comments

Danke, jetzt habe ich es verstanden!

Answer 2

Du hast 4 Gleichungen und 4 Koeffizienten - sollte lösbar sein mit dem Ansatz:

wo hängts dann?

siehe https://www.geogebra.org/m/Qaed4y4Y

Kontrolle: \(\small f(x) \, :=  \, x^{3} - 4 \; x^{2} + x - 1\)