Wie bestimmt man die Komposition von f°g und g°f und den dazugehörigen bildbereich?

Question

Aufgabe:

Wie bestimmt man die Komposition von f°g und g°f und den dazugehörigen bildbereich?

F(x) = max{1,x^2}

G(x) = ln(x-1)

Problem/Ansatz:

Ich hab mir überlegt das es einfach nur der betrag ist, also würde ich sagen

F°G= ln(|1,x^2|) kann alle werte von 0 bis + unendlich annehmen

und G°F= max{ln(x-1} kann alle werte von 0 bis 1 annehmen?

Für jegliche Hilfe bin ich dankbar

Answer 1

Aloha :)

Du hast die beiden Funktionen$$F:\,\mathbb R\to\mathbb R^{\ge1}\;:\;F(x)=\operatorname{max}(1;x^2)$$$$G:\,\mathbb R^{>1}\to\mathbb R\;;\;G(x)=\ln(x-1)$$

Für die Komposition beider Funktionen gilt nun:$$(F\circ G)(x):\,\mathbb R^{>1}\to\mathbb R^{\ge1}\;:\;(F\circ G)(x)=\operatorname{max}(1;\ln^2(x-1))$$$$(G\circ F)(x):\,\mathbb R\setminus[-1;1]\to\mathbb R\;:\;(G\circ F)(x)=\ln(\operatorname{max}(1;x^2)-1)$$

Beachte, dass \(\ln(x)\) nur für \(x>0\) definiert ist, daher müssen wir im zweiten Fall vermeiden, dass die Maximum-Funktion den Wert \(1\) zurück liefert. Es muss also \(x^2>1\) bzw. \(x>1\) oder \(x<-1\) gelten.

Comments

Vielen dank, ja jetzt macht das auch sinn. Und weil es sich bei g°f um x^2 handelt kann die Zahl auch nicht negativ werden und deswegen ist es auf ganz R ohne 1 und -1 gültig. Hab ich das richtig verstanden?

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Ja, genau so ist es.