Bestimmen Sie eine Basis sowie die Dimension von P(X).

Question

Aufgabe:

Sei X eine endliche Menge und P(X) = {U | U ⊆ X} die Potenzmenge von X. Für U,V ∈ P(X) und k ∈Z₂

sei

U + V = (U ∪V )\(U ∩V ) und k·U =(∅, falls k = 0 und U, falls k = 1.

Mit diesen Verknüpfungen ist P(X) ein Z₂-Vektorraum.

Bestimmen Sie eine Basis sowie die Dimension von P(X).

Problem/Ansatz:

Mir fehlt leider komplett der Ansatz inwiefern man die Vorgaben in eine Basis verwandeln kann

Answer 1

Die Menge der einelementigen Teilmengen von X ist ein Erzeugendensystem von P(X).

Entfernt man aus diesem Erzeugendensystem eine Menge {x} ∈ P(X), dann ist die resultierende Menge kein Erzeugendensystem von P(X), weil {x} nicht durch die übrig gebliebenen Mengen erzeugt werden kann.

Comments

Eine Basis ist übrigens genauso leicht zu finden.

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Ich dachte das habe ich gerade getan.

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Bin mir gerade sehr unsicher ob ich das nun richtig verstehe.

wäre nach dieser Angabe die Basis nun das ganze P(X) ?

und die Dimension wäre dann wie ?

bin leider bisschen verwirrt .

Vielen dank

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wäre nach dieser Angabe die Basis nun das ganze P(X) ?

Nein. Das kann ja nicht sein, weil das neutrale Element der Addition nie zur Basis gehört.

und die Dimension wäre dann wie ?

Die Dimension wäre dann die Anzahl der Elemente in der Basis.

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Die Menge der einelementigen Teilmengen von X ist ein Erzeugendensystem von P(X).

Das ist ein weiterer Grund, warum P(X) keine Basis von P(X) sein kann.

Wenn du zu einem Erzeugendensystem eines Vektorraumes weitere Elemente dieses Vektorraumes hinzufügst, dann ist die resultierende Menge linear abhängig.

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Okay, dann habe ich leider dennoch nicht ganz verstanden was nun direkt die Basis ist bei dieser Aufgabe. Ich kann mir das leider nicht vorstellen.

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Ich dachte das habe ich gerade getan.

Natürlich hast du das, aber den Begriff "Basis" nicht erwähnt (was man vielleicht auch ja nicht muss).

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Die Menge der einelementigen Teilmengen von X ist eine Basis von P(X), weil sie ein Erzeugendensystem von P(X) ist und jede echte Teilemenge dieses Erzeugendensystems kein Erzeugendensystem von P(X) ist.

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Ahhhh jetzt hat es bei mir klick gemacht vielen Dank dir für deine Mühe :)