Maximum und Minimum bestimmen von f:[-2,1] nach R, x -->x*e^x-0.5x^2-x

Question

Ich habe folgende Aufgabe:

Sei f:[-2,1] nach R, x -->x*e^x-0.5x^2-x . Bestimmen Sie Maximum und Minimum von f.  In welchen Punkten nimmt f diese Werte an?

Ich habe das jetzt so gemacht, dass ich die Funktion abgeleitet habe und geschaut habe, wo die Ableitung 0 ist. In diesem Punkt liegen jetzt lokale Extrema (Punkt -1 und 0). Jetzt schau ich welches davon kleiner ist und kann dann sagen, dass das das Minimum und das andere das Maximum ist.

Ich bin mir aber jetzt gerade unsicher, ob hier überhaupt nach den lokalen Extrema gesucht ist oder ob ich bestimmen soll in welchem Punkt im Intervall [-2,1] der Funktionswert am größten bzw. am kleinsten ist, was ja in den Randpunkten der Fall wäre.

Hoffe mir kann jemand helfen.

Comments

Wenn du begründen kannst, dass das am Rand der Fall ist, hast du mE diese Frage beantwortet.

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Was bedeutet mE und könnte ich einen Tipp haben wie man das begründet?

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mE =  meines Erachtens

Answer 1

Das Minimum und das Maximum der Funktion f beziehen sich auf den Wertebereich von f, sind also tatsächlich diejenigen Werte, die f innerhalb ihres Definitionsbereiches annehmen kann. Wenn ein Randwert größer bzw. kleiner ist als sämtliche lokalen Maxima bzw. Minima von f, dann ist dieser Randwert das Maximum bzw. Minimum von f.

Comments

ok. Könnte ich dann bitte noch einen Tipp haben, wie ich dann in diesem Fall Maximum und Minimum ermittle und das vor allem beweise?

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Lokale Extremwerte bestimmen, Randwerte bestimmen.

Minimum = min ( lokale Extremwerte, Randwerte )

Maximum = max ( lokale Extremwerte, Randwerte )

Was soll da bewiesen werden? Du rechnest die Werte aus und ermittelst daraus das Minimum und das Maximum. Damit ist alles gezeigt (korrekte Berechnungen vorausgesetzt).

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" ok. Könnte ich dann bitte noch einen Tipp haben, wie ich dann in diesem
Fall Maximum und Minimum ermittle und das vor allem beweise?

Ganz ausführlich als Beweis :

  Die Punkte ( 0 l 0 ) und ( -1 l 0.13 ) sind die Extrempunkte wobei

  P1 : ( -1 l 0.13 ) ein Maximum ist und
  P2 : ( 0 l 0 )  ein Minimum ist
  ( Beweis z.B. über die 2.Ableitung )

  Links von P1 ist die Funktion steigend ( Monotonie positiv ), das heißt die
Funktion steigt vom Randpunkt  ( -2 l -0.27 ) zum Punkt P1 an.
  Rechts von P2 ist die Funktion steigend ( Monotonie positiv ), das heißt
die Funktion steigt zum Randpunkt ( 1 l 1.22 ) an.

  Ein Vergleich der y-Werte zeigt das

  min ( 0,-0.27 ) = - 0.27 und
  max ( 0.13, 1.22 ) = 1.22 ist.

  Min und Max sind jeweils die Randwerte der Funktion.

  mfg Georg

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Danke erstmal für die super Antwort, Georg!

Ein Problem habe ich aber trotzdem noch. Ich will zeigen, dass die Funktion links von P1 monoton wachsend ist. Dies zeige ich ja in dem ich zeige, dass die Ableitung an diesen Stellen größer als 0 ist, also:

f'(x)=(x+1) * e^x - x - 1 > 0.

Wie mache ich das denn? Für die Werte größer 0 war das kein Problem, aber hier?

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( x + 1) * e ^x- x - 1 > 0

<=> ( x + 1) * e ^x > x + 1

Nun möchte ich durch x + 1 dividieren, muss dabei aber bedenken, dass sich das Ungleichheitszeichen umkehrt, wenn x + 1 < 0 ist, wenn also x < - 1 ist. Also Fallunterscheidung:

Fall 1: x > - 1

dann

( x + 1) * e ^x > x + 1

<=> e ^x > 1

<=> x > ln ( 1 ) = 0

Also : f ' ( x ) > 0 , falls x > - 1 und x > 0 , also dann wenn x > 0

Fall 2: x < - 1

dann

( x + 1) * e ^x > x + 1

<=> e ^x < 1

<=> x < ln ( 1 ) = 0

Also : f ' ( x ) > 0 , falls x < - 1 und x < 0 , also dann wenn x < - 1

Insgesamt:

f ' ( x ) > 0 <=> x < - 1 oder x > 0

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Vielen Dank, klingt logisch. Noch eine Frage aus reinem Interesse: Fällt dir vielleicht zufällig noch spontan ein Beweis in diese Richtung ein?

Ich zeige: f'(x)>0 für x ∈(0,1]:

Es gilt:

f'(x)=(x+1) * e^x - x - 1 = (x * e^x - x) + (e^x -1)                      >0

                                    |.................| + |..........|

                                        >0                   >0

                                    ,da e^x>1     
für alle x in diesem Intervall


Gesucht wäre also ein analoger Beweis für x∈[-2,-1)

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Und nochwas: Ich glaube jetzt, einen Denkfehler von mir gefunden zu haben:

Ist es überhaupt nötig, dass so genau zu machen mit der Monotonie links und rechts von den lokalen Extrema oder würde es nicht genügen, einfach nur noch die Funktionswerte in den Randpunkten zu bestimmen und zu sagen, dass diese größer, bzw. kleiner als meine lokalen Extrema sind und daher globale Extrema?

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Ja, das genügt - und das habe ich ja bereits in meinem allerersten Kommentar geschrieben, wenn auch in etwas "mathematischerer" Form ...:-)

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Oh stiimt ja... Dann tausend Dank für deine Geduld, ich bin mal wieder heftig auf dem Schlauch gestanden.. Danke.