Wie setzte ich bei dieser Angabe am besten an um den Grenzwert zu bestimmen?

Question

Aufgabe:

$$f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}: n \mapsto \sum \limits_{j=0}^{n} \frac{j}{(n+1)^2}$$
Problem/Ansatz:

Wie setzte ich bei dieser Angabe am besten an um den Grenzwert zu bestimmen?

Answer 1

$$ \sum \limits_{j=0}^{n} \frac{j}{(n+1)^2}=\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{2}{(n+1)^2}+\cdots +\frac{n}{(n+1)^2}= \frac{1+2+\cdots +n}{(n+1)^2}$$ Mit der gaußschen Summenformel also:$$\sum \limits_{j=0}^{n} \frac{j}{(n+1)^2}=\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{(n+1)^2}=\frac{n}{2(n+1)}\xrightarrow{n\to \infty}\frac{1}{2}$$

Answer 2

$$\sum \limits_{j=0}^{n} \frac{j}{(n+1)^2}  =\frac{1}{(n+1)^2}\sum \limits_{j=0}^{n} j =\frac{1}{(n+1)^2}*\frac{n*(n+1)}{2} $$

$$=\frac{1}{n+1}*\frac{n}{2}$$

Gibt den Grenzwert 1/2.