Berechnen Sie die Extremstellen der Funktion: f(x) = x / (1+x²)

Question

Berechnen Sie die Extremstellen folgender Funktion:

$$ f(x) = \frac{x}{1+x^2} $$

Answer 1

Die erste Ableitung muss 0 werden, damit eine Extremstelle vorliegt.

Berechnen wir also f'(x) nach der Quotientenregel:
f(x) = u/v:
f'(x) = (u' v - u v')/v²

Also:

$$ f ^ { \prime } ( x ) = \frac { \left( 1 + x ^ { 2 } \right) - x \cdot 2 x } { \left( 1 + x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } = \frac { 1 - x ^ { 2 } } { \left( 1 + x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } $$

Ein Bruch wird null, wenn der Zähler 0 und der Nenner nicht 0 ist. Offenbar wird der Nenner nie 0, denn x² ≥ 0.

Also muss nur

0 = 1-x²

gelten.

x² = 1

x = ±1

Möglich Extremstellen liegen also bei x=1 und x=-1.

Um zu prüfen, ob es sich um Maxima oder Minima handelt, muss die zweite Ableitung berechnet werden.

Wiederum nach der Quotientenregel erhält man:

$$ f ^ { \prime \prime } ( x ) = \frac { - 2 x \left( 1 + x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - \left( 1 - x ^ { 2 } \right) \cdot 2 x \cdot 2 \left( 1 + x ^ { 2 } \right) } { \left( 1 + x ^ { 2 } \right) ^ { 4 } } = \frac { - 2 x \left( 1 + x ^ { 2 } \right) - 4 x \left( 1 - x ^ { 2 } \right) } { \left( 1 + x ^ { 2 } \right) ^ { 3 } } = \frac { 2 x ^ { 3 } - 6 x } { \left( 1 + x ^ { 2 } \right) ^ { 3 } } $$

Nun müssen noch f''(1) und f''(-1) berechnet werden:

f''(1) = -1/2  ⇒ x=1 ist Maximalstelle von f

f''(-1) = 1/2 ⇒ x=1 ist Minimalstelle von f

Answer 2

f(x) = x / (1+x^2)

Ableitung über Quotientenregel

u = x
u' = 1
v = 1+x^2
v' = 2x

f '(x) = (1*(1+x^2) - x*2x) / (1+x^2)^2
f '(x) = (1 - x^2) / (1+x^2)^2

Extremstellen bei f '(x) = 0

(1 - x^2) / (1+x^2)^2 = 0 (Ein Bruch wird Null wenn der Zähler null wird)
1 - x^2 = 0
x = +- 1

Hier noch eine Skizze