Geordnete Körper Beweis

Question

Aufgabe:

Gilt y > x, so existiert stets ein z ∈ K mit y > z > x

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen wie ich hier einen Beweis ausführen kann? Ich habe leider keine Idee ob durch Wiederspruch oder was hier der beste Ansatz ist...

Comments

Kannst du die Aussage negieren? Per Widerspruch ist keine schlechte Idee.

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Wäre die Negation dann das z entweder x oder y ist?

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Hallo, Ich habe genau die selbe Aufgabe, aber ich schaffe es nicht sie zu lösen.

Kannst du mir vlt beim ersten Fall zeigen, also y≤z wie du da den Wiederspruch konstruiert hast?

grüße

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Ja klar, du machst dann eine Fallunterscheidung.

In Fall eins für y<= z Setzt du z=x, da x Element K und dann gilt y>x und y<=x was ein Wiederspruch ist.

Genau gleich gehts dann mit z<=

Answer 1

Beweis per Widerspruch:

Zunächst ist \(y>z>x ⇔ y>z ∧ z>x \). Also negiert \(y≤z ∨ z≤x\).

Es gilt:

\(\lnot (y>x\Rightarrow \exists z\in \mathbb{K}\, : \, y>z>x) \iff (y>x)\land (\forall z\in \mathbb{K} \, : \,y≤z ∨ z≤x)\)

Wir meinen mit \(\vee\) übrigens ein inklusives Oder.

Comments

Super danke, konnte damit die Aufgabe lösen!