Stetige Verteilung - Verteilungsfunktion und Integrationsgrenzen

Question

Aufgabe:

Ich habe hier folgende stetige Dichtefunktion, von der ich die Verteilungsfunktion, den Erwartungswert und die Streuung D²X ermitteln soll. Die Ergebnisse sollen in Abhängigkeit des Parameters a angegeben werden:

Hinweis: a ist eine positive

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist folgender:

Text erkannt:

Dichtefulthion: \( f(x)=\frac{z}{3 a} x+\frac{2}{3} z \quad \) i \( -a \leq x \leq a \)
(2) lutegrahionsgrenzecu bestimmen:
\( F(-a)=0 ; \quad F(a)=1 \)
$$ \begin{aligned} F(-a)=0 \rightarrow 0 &=\frac{z x^{2}}{6 a}+\frac{2}{3} z x \rightarrow 0=x(x+1) \\ F(a)=1 \rightarrow 1 &=\frac{z x^{2}}{6 a}+\frac{2}{3} z x \\ & \quad 0=z \cdot\left(\frac{x^{2}}{6 a}+\frac{2}{3} x\right)-1 \end{aligned} $$

Die Verteilungsfunktion müsste richtig sein. Mein Problem ist jetzt bei den Integrationsgrenzen. Da bin ich mir unsicher. Ich habe -a mit F(-a) =0 und F(a)=1 definiert. F(a)=1 deswegen weil die untere Grenze 0 ist und die Fläche unter der Kurve 1 ist. Da habe ich meine Probleme. Könnte mir jemand bitte erklären, wie ich die Grenzen hier ermitlle, und dementsprechend im weiteren Verlauf vorzugehen habe?

Denn bei der Bestimmung des Erwartungswertes und der Streuung habe ich ja die allgemeinen Parameter z und a. Wie gebe ich die Ergebnisse dann an, denn da kommt ja nichts konkretes raus oder? Was würde man für Erwartungswert und Streuung erhalten?

Danke für Eure Mühe!

Answer 1

Aloha :)

1) Normierung der Wahrscheinlichkeitsdichte

Die gegebene Funktion$$f(x)=\frac{z}{3a}x+\frac{2}{3}z=\frac{z}{3a}\left(x+2a\right)\quad;\quad -a\le x\le a$$sieht sehr pathologisch aus. Es scheint, dass \(z\) ein Zoom-Faktor ist, um die Funktion so zu normieren, dass sie zu einer Wahrscheinlichkeitsdichte wird. Die gesamte Fläche unter der Dichtefunktion muss auf \(1\) normiert werden:

$$1\stackrel!=\int\limits_{-a}^af(x)\,dx=\frac{z}{3a}\int\limits_{-a}^a(x+2a)dx=\frac{z}{3a}\left[\frac{x^2}{2}+2ax\right]_{-a}^a$$$$\phantom{1}=\frac{z}{3a}\left(\frac{a^2}{2}+2a^2-\frac{(-a)^2}{2}-2a(-a)\right)=\frac{z}{3a}\left(\frac{a^2}{2}+2a^2-\frac{a^2}{2}+2a^2\right)=\frac{4az}{3}$$Der Zoom-Faktor ist also \(z=\frac{3}{4a}\). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung lautet daher:

$$g(x)=\frac{\frac{3}{4a}}{3a}(x+2a)=\boxed{\frac{1}{4a^2}(x+2a)}\quad;\quad -a\le x\le a$$

2) Bestimmung der Verteilungsfunktion

$$G(x)=\int\limits_{-a}^xg(t)dt=\frac{1}{4a^2}\int\limits_{-a}^x(t+2a)dt=\frac{1}{4a^2}\left[\frac{1}{2}(t+2a)^2\right]_{-a}^x$$$$\phantom{G(x)}=\frac{1}{8a^2}\left((x+2a)^2-(-a+2a)^2\right)=\frac{1}{8a^2}\left((x+2a)^2-a^2\right)=\boxed{\frac{(x+2a)^2}{8a^2}-\frac{1}{8}}$$

3) Erwartungswert bestimmen

Die Berechnung des Integrals kürze ich ab, gebe nur Anfang und Ende an:$$\langle x\rangle=\int\limits_{-a}^axg(x)dx=\cdots=\frac{a}{6}$$

4) Varianz bestimmen

Auch hier wieder nur nur Anfang und Ende der Rechnung:$$V(X)=\int\limits_{-a}^a\left(x-\frac{a}{6}\right)^2g(x)dx=\cdots=\frac{11}{36}a^2$$

Answer 2

Die Verteilungsfunktion müsste richtig sein.

Im Intervall [-a, a] ist sie richtig. Aber genau so wie die Dichtefunktion abschnittsweise definiert ist, ist auch die Verteilungsfunktion abschnittsweise definiert.

Der Rechenweg ist aber gruselig. Den Faktor \(\frac{z}{3a}\) kann man nicht so vor das Integral ziehen. Außerdem ist nicht

        \(F(x) = \int\limits_{-a}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x\),

sondern

    \(F(x) = \int\limits_{-\infty}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t = \begin{cases}0&\text{für }x<-a\\\frac{z}{6a}x^2 + \frac{2}{3}zx&\text{für }-a\leq x\leq a\\1&\text{für }x > a\end{cases}\).

Mein Problem ist jetzt bei den Integrationsgrenzen.

Welche Integrationsgrenzen meinst du? Sowohl beim Erwartungswert, als auch bei der Standardabweichung sind die Integrationsgrenzen mit \(-\infty\) und \(\infty\) in der Definition vorgegeben.

Was würde man für Erwartungswert und Streuung erhalten?

\(\mu = \int\limits_{-\infty}^\infty x\cdot f(x)\,\mathrm{d}x = \int\limits_{-a}^a x\cdot \left(\frac{z}{3a}x+\frac{2}{3}z\right)\,\mathrm{d}x\)

Comments

Ich danke Dir!