Aloha :)
1) Normierung der Wahrscheinlichkeitsdichte
Die gegebene Funktion$$f(x)=\frac{z}{3a}x+\frac{2}{3}z=\frac{z}{3a}\left(x+2a\right)\quad;\quad -a\le x\le a$$sieht sehr pathologisch aus. Es scheint, dass \(z\) ein Zoom-Faktor ist, um die Funktion so zu normieren, dass sie zu einer Wahrscheinlichkeitsdichte wird. Die gesamte Fläche unter der Dichtefunktion muss auf \(1\) normiert werden:
$$1\stackrel!=\int\limits_{-a}^af(x)\,dx=\frac{z}{3a}\int\limits_{-a}^a(x+2a)dx=\frac{z}{3a}\left[\frac{x^2}{2}+2ax\right]_{-a}^a$$$$\phantom{1}=\frac{z}{3a}\left(\frac{a^2}{2}+2a^2-\frac{(-a)^2}{2}-2a(-a)\right)=\frac{z}{3a}\left(\frac{a^2}{2}+2a^2-\frac{a^2}{2}+2a^2\right)=\frac{4az}{3}$$Der Zoom-Faktor ist also \(z=\frac{3}{4a}\). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung lautet daher:
$$g(x)=\frac{\frac{3}{4a}}{3a}(x+2a)=\boxed{\frac{1}{4a^2}(x+2a)}\quad;\quad -a\le x\le a$$
2) Bestimmung der Verteilungsfunktion
$$G(x)=\int\limits_{-a}^xg(t)dt=\frac{1}{4a^2}\int\limits_{-a}^x(t+2a)dt=\frac{1}{4a^2}\left[\frac{1}{2}(t+2a)^2\right]_{-a}^x$$$$\phantom{G(x)}=\frac{1}{8a^2}\left((x+2a)^2-(-a+2a)^2\right)=\frac{1}{8a^2}\left((x+2a)^2-a^2\right)=\boxed{\frac{(x+2a)^2}{8a^2}-\frac{1}{8}}$$
3) Erwartungswert bestimmen
Die Berechnung des Integrals kürze ich ab, gebe nur Anfang und Ende an:$$\langle x\rangle=\int\limits_{-a}^axg(x)dx=\cdots=\frac{a}{6}$$
4) Varianz bestimmen
Auch hier wieder nur nur Anfang und Ende der Rechnung:$$V(X)=\int\limits_{-a}^a\left(x-\frac{a}{6}\right)^2g(x)dx=\cdots=\frac{11}{36}a^2$$
