Wahrscheinlichkeit - Stetige Verteilungen

Question

Diese Aufgabe demonstriert die Vorteile der Nutzung von stetigen Verteilungen. Deshalb soll das gleiche Problem auf zwei verschiedenen Wegen gelöst werden:

Seien \( s \) und \( t \) zwei Punkte aus dem Intervall \( [0,1] \), die unabhängig und gleichverteilt gewählt wurden, und \( A \) sei das Ereignis, dass \( |s-t| \leq 0,2 \) ist.

a) Bestimmen Sie \( \operatorname{Pr}(A) \) durch Diskretisierung. Unterteilen Sie dazu das Intervall \( [0,1] \) in \( m=10 n \) gleich große Teilintervalle \( T_{1}, \ldots, T_{m}(n \in \mathbb{N} \) groß \( ) \) und bestimmen Sie, für wie viele geordnete Paare \( \left(T_{i}, T_{i}\right) \) der Abstand zwischen zwei Punkten \( s \in T_{i}, t \in \)
\( T_{j} \) garantiert \( \leq 0,2 \mathrm{bzw} . \) garantiert \( \geq 0,2 \) ist. Daraus lassen sich obere und untere Schranken für \( \operatorname{Pr}(A) \) (in Abhängigkeit von
\( n \) ) herleiten. Durch die Grenzwerte für \( n \rightarrow \infty \) sollte man dann \( \operatorname{Pr}(A) \) genau bestimmen können.

b) Betrachten Sie dazu das Tupel \( (s, t) \) als einen zufälligen (gleichverteilten) Punkt im Quadrat \( [0,1] \times[0,1] \). Beschreiben Sie das Ereignis \( A \) als Teilmenge dieses Quadrats und \( \operatorname{Pr}(A) \) durch die Fläche dieser Teilmenge.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

a) Bestimmen Sie \( \operatorname{Pr}(A) \) durch Diskretisierung.

Um \( \operatorname{Pr}(A) \) durch Diskretisierung zu bestimmen, teilen wir das Intervall \([0,1]\) in \(m=10n\) gleich große Teilintervalle auf, wobei jedes Intervall eine Länge von \(\frac{1}{m}=\frac{1}{10n}\) hat.

Für jedes Paar \((T_{i}, T_{j})\) ist der Abstand \(|s-t|\) zwischen zwei Punkten \(s \in T_{i}\) und \(t \in T_{j}\) genau dann kleiner oder gleich \(0,2\), wenn \(|i-j|\leq 0,2m\), da der maximale Abstand innerhalb eines Teilintervalls vernachlässigbar klein ist, wenn \(n \rightarrow \infty\).

Also, für \(|i-j|\leq 0,2m\):

- Die Anzahl der Paare, \(T_{i}\) und \(T_{j}\), für die \(|s-t| \leq 0,2\) ist, kann genähert werden durch die Summation aller möglichen \(T_{i}\), \(T_{j}\) Kombinationen innerhalb der Reichweite von \(0,2m\), multipliziert mit 2 (da \(T_{i}\) und \(T_{j}\) vertauschbar sind), abzüglich der Anzahl der Paare, für die \(i=j\), weil solche Paare doppelt gezählt würden.
- Da \(m=10n\), ist \(0,2m = 2n\).

Da jedes \(T_{i}\) potenziell mit \(2n\) anderen \(T_{j}\) (nach links und rechts, ohne Überlappungen) gepaart werden könnte, plus das Teilintervall selbst, beträgt die maximale Anzahl der Paarungen \(2n\).

Daher kann die Anzahl der positiven (konformen) Fälle ausgedrückt werden als \(m \cdot 2n = 20n^2\).

Da es \(m^2 = (10n)^2 = 100n^2\) mögliche Paarungen von \(T_{i}\) und \(T_{j}\) gibt, wird die Wahrscheinlichkeit \(\operatorname{Pr}(A)\) approximiert durch \(\frac{20n^2}{100n^2} = \frac{1}{5}\) für sehr große \(n\).

b) Beschreibung des Ereignisses \(A\) in einem Quadrat

Betrachten wir das Tupel \((s,t)\) als einen zufälligen Punkt im Quadrat \([0,1] \times [0,1]\). Das Ereignis \(A\), dass der Abstand \(|s-t|\) kleiner oder gleich \(0,2\) ist, kann als zwei Dreiecke im Quadrat beschrieben werden. Die Bedingung \(|s-t| \leq 0,2\) definiert ein Band um die Linie \(s=t\), das nach oben und unten durch die Linien \(s=t+0,2\) und \(s=t-0,2\) begrenzt ist.

Die Fläche dieses Bandes im Quadrat \([0,1] \times [0,1]\) stellt \( \operatorname{Pr}(A) \) dar. Diese Fläche setzt sich aus zwei Dreiecksbereichen zusammen, jeder mit einer Basis von \(0,8\) (denn \(1 - 0,2\)) und einer Höhe von \(0,2\).

Um die Gesamtfläche \( \operatorname{Pr}(A) \) zu berechnen, summieren wir die Flächen der beiden Dreiecke:

\( \operatorname{Pr}(A) = 2 \left( \frac{1}{2} \cdot 0,8 \cdot 0,2 \right) = 2 \cdot 0,08 = 0,16 \)

Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Abstand zwischen zwei zufälligen, unabhängigen und gleichverteilten Punkten im Intervall \([0,1]\) kleiner oder gleich \(0,2\) ist, gleich \(0,16\).