Irrationalität zeigen

Question

Hallo, ich habe Probleme bei dieser Aufgabe und würde mich über eine Erklärung Antwort sehr freuen!

Und zwar soll man zeigen, dass wenn  a, b, c, d rational mit ad - bc =/ 0, und x irrational mit cx + d =/ 0 ist, so ist auch
z := ax + b /  cx + d irrational.

LG

Muell145

Answer 1

Aus der Def. von z folgt

==>   z* ( cx + d) = ax + b

==> (zc-a) * x = b-d  #

Und es gilt

zc-a = c*(ax+b)/(cx+d) - a

      =  c*(ax+b)/(cx+d) - a(cx+d)/(cx+d)

       = (acx + cb - acx - ad ) / (cx+d)

      = (cb  - ad ) / (cx+d) 
und das ist nach Vor. ungleich 0, also kann man bei # dividieren

und hätte x = (b-d) /  (zc-a). Also wäre x der

Quotient zweier rationaler Zahlen im Widerspruch zu

x irrational.