kommutativer Ring Anordnung

Question

ich arbeite gerade an folgender Aufgabe

Sei n ∈ N, und sei ∼ die durch x ∼ y :⇔ n teilt x − y definierte Relation auf Z; im Folgenden durfen Sie ohne Beweis verwenden, dass ¨ ∼ eine
Aquivalenrelation ist.
Ferner sei der Quotientenraum im Folgenden mit Z/nZ bezeichnet und mit den Operationen + und · definiert durch
[r]+[s]:=[r+s]
und
[r] · [s]:=[r · s]
versehen;
im Folgenden durfen Sie ohne Beweis verwenden, dass diese Operationen wohldefiniert sind und Z/nZ zu einem kommutativen Ring mit Eins machen.
Zeigen Sie, dass Z/nZ kein angeordneter Ring ist.

Mein Ansatz:
Z/nZ ist bezüglich der Addition und Multiplikation nicht abgeschlossen:
z.B. Sei für n=3[0]=0,[1] Element (−P),[2] Element (P)
Dann gilt für [1]⋅[2]=[2⋅1]=[2] Widerspruch, da nicht Element (−P)

Ich freue mich über jegliche Hilfestellungen!

Answer 1

Doch, Z/nZ ist bezüglich der Addition und Multiplikation abgeschlossen:

z.B. bzgl Mult. weil :  Die Elemente von Z/nZ sind Klassen.

Seien also  [x] , [y]  ∈  Z/nZ ==>   [x] * [y] = [x*y] , das Ergebnis ist also wieder

eine Klasse mod n , also ∈  Z/nZ.

Das brauchst du aber alles gar nicht zu prüfen.

Denn: im Folgenden durfen Sie ohne Beweis verwenden, dass diese Operationen wohldefiniert sind und Z/nZ zu einem kommutativen Ring mit Eins machen.

Und du sollst für alle n≥2 (das steht bestimmt auch irgendwo) zeigen:

dass Z/nZ kein angeordneter Ring ist.

In jedem angeordneten Ring gilt ja   0≤1.

Betrachte den Fall n=2 extra.  Wegen der Monotonie der Addition

==>                           0+1 ≤1+1 = 0

                                also 1 ≤10   und damit  0=1 Widerspruch !

Für n>2 :          aus  0≤1. folgt wie oben

                                 1 ≤ 2 also mit der Monotonie der Multiplikation

                            0*1 ≤ 1*2    also 0≤ 2.

            und dann wieder genauso 1 ≤ 3  und wieder

                               0*1 ≤ 1*3    also 0≤ 3.

auf diese Weise weiter kommt man dann irgendwann zu 0≤ n-1. ##

               allerdings bekommt man aus 0≤1 durch Addition von n-1

                               n-1 +0 ≤1+(n-1) ==>  n-1 ≤ 0   #

# und ## ergeben zusammen  n-1 = 0 und mit +1 ergibt das

                                       n-1+1 = 0+1

                                          n = 1    also o=1. Widerspruch.

Also kann es keine Ordnung auf dem Ring geben.