Berechnen Sie ... Zufallsgröße

Question

Aufgabe:

Es seien \(X_1\) und \(X_2\) Zufallsgrößen mit \(\sigma_1^2= 8\), \(\sigma_2^2=11\) und \(\text{Cov}(X_1,X_2) =\sigma_{12}= 7\).

Berechnen Sie \(\text{Cov}(−15X_1+1,X_2+7)\).

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen? (Bei stehen die Zahlen übereinander (also 1 hoch 2 zb, wusste nur nicht wie das geht.))

Answer 1

Aloha :)

Die Konstanten \(1\) und \(7\) kannst du direkt weglassen, weil sie ja nicht variieren und daher bei der Bestimmung dre Kovarianz keinen Beitrag leisten.

Dann ist es hilfreich zu wissen, dass die Kovarianz in beiden Komponenten linear ist, d,h.$$\operatorname{Cov}(aX;Y)=a \operatorname{Cov}(X;Y)$$$$\operatorname{Cov}(X+Y;Z)=\operatorname{Cov}(X;Z)+\operatorname{Cov}(Y;Z)$$und dieselben Regeln auch für die 2-te Komponente.

Damit lautet die Lösung der Aufgabe:$$\operatorname{Cov}(-15x_1+1;x_2+7)=\operatorname{Cov}(-15x_1;x_2)=-15\operatorname{Cov}(x_1;x_2)$$$$\phantom{\operatorname{Cov}(-15x_1+1;x_2+7)}=-15\sigma_{12}=-105$$

Comments

Hat gestimmt! Vielen Dank dir!