Zeigen Sie: Es existiert ein z0 ∈ [−1, 1] mit g(z0) = z0n

Question

Aufgabe:

Sei g : [−1, 1] → [−1, 1] eine stetige Funktion und sei n ∈ ℕ ungerade.
Zeigen Sie: Es existiert ein z₀ ∈ [−1, 1] mit g(z₀) = z₀ⁿ

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht, wie ich diese Aufgabe lösen soll und würde mich sehr über etwas Hilfe freuen.

Answer 1

Gleicher Trick wie immer. Sei \( h(z) = g(z) - z^n \) Dann gilt \( h(-1) = g(-1) +1 \) und \( h(1) = g(1) -1 \). Jetzt \( h(-1) \) und \( h(1) \) geeignet abschätzten und den ZWS anwenden.

Comments

Das hilft mir leider nicht weiter ... trotzdem danke

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Wieso hift das nicht?

\( g(-1) \ge -1 \) also \( h(-1) \ge 0 \) und \( g(1) \le 1 \) also \( h(1) \le 0 \). Also gibt es einen Wert \( z_0 \in [-1,1] \) mit \( h(z_0) = 0 \)

Und was ist jetzt \( h(z_0) = 0 \) umgestellt nach \( g(z_0) \)?