Seien A und B beliebige Mengen. Beweisen Sie die folgende Aussage: A ⊆ B ⇔ (∀M ⊆ A : M ∪ A ⊆ M ∪ B)

Question

Aufgabe:

Seien A und B beliebige Mengen. Beweisen Sie die folgende Aussage: A ⊆ B ⇔ (∀M ⊆ A : M ∪ A ⊆ M ∪ B)

Brauche Hilfe. habe leider auch keinen Ansatz

Answer 1

Zur Richtung  <==

Es gelte  ∀M ⊆ A : M ∪ A ⊆ M ∪ B

Da ∅⊆ A gilt also auch ∅ ∪ A ⊆ ∅ ∪ B

                         ==>      A ⊆ B.

Umgekehrt zu ==>: Sei   A ⊆ B und  M ⊆ A.

==>   M ∪ A = M  und da M ⊆ M ∪ B

                       ==>   M ∪ A ⊆ M ∪ B.  q.e.d.