Zeigen Sie, dass für die Urbilder der Mengen M, N ⊆ B gilt g−1(M ∪ N) = g−1(M) ∪ g−1(N)

Question

Aufgabe: Seien A und B Mengen und g : A → B eine Abbildung. Zeigen Sie, dass für die Urbilder der Mengen M, N ⊆ B gilt
g⁻¹(M ∪ N) = g⁻¹(M) ∪ g⁻¹(N)

g⁻¹(M ∩ N) = g⁻¹(M) ∩ g⁻¹(N)

g⁻¹(M \ N) = g⁻¹(M) \ g⁻¹(N)

Kann mir jemand bitte die Urbilder zeigen? :)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Urbilder von Mengen. Wie kann ich beweisen, dass f^{-1}(A u B) = f^{-1}(A) u f^{-1} ( B)?

Stichworte: mengen,abbildung,urbilder,vereinigung,schnittmenge

  ich weiss nicht mal wie ich das angehen soll.

---

Schau mal https://www.mathelounge.de/169456/a-b-mengen-abbildung-f-a-nach-b-zeige-f-1-n1-∩-n2-f-1-n1-∩-f-1-n2-usw an.

Das scheint eine Version von b) zu sein.

Answer 1

Du musst Dir ein Element in der Menge links vom Gleichheitszeichen nehmen und zeigen, dass es in der Menge rechts liegt. Dann umgekehrt.

"⇒"

Sei a∈g⁻¹(M ∪ N) ⇒ g(a)∈M ∪ N  ⇒ g(a)∈M oder g(a)∈N ⇒ a∈g⁻¹(M) oder a∈g⁻¹(N) ⇒  a∈ g⁻¹(M) ∪ g⁻¹(N)

"⇐"

Sei a∈g⁻¹(M) ∪g⁻¹(N) ⇒ ... obige Zeile von links nach rechts hinschreiben.

g⁻¹(M ∩ N) = g⁻¹(M) ∩ g⁻¹(N):

erste Aufgabe mit "∩" und "und"  statt "∪" und "oder" abschreiben.

g⁻¹(M \ N) = g⁻¹(M) \ g⁻¹(N)

erste Aufgabe mit "\" und "aber nicht"  statt "∪" und "oder" abschreiben.