Berechnen Sie Cov(4X1+1,X2−11).

Question

Aufgabe:

Es seien X1 und X2 Zufallsgrößen mit σ21=18, σ22=19 und Cov(X1,X2)=σ12=12.

Berechnen Sie Cov(4X1+1,X2−11).

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand weiterhelfen?

Answer 1

Aloha :)

Die Covarianz ist eine sog. Bilinearform, das heißt, sie ist linear in beiden Komponenten. Für Zufallsvariablen \(X,Y,Z\) und eine Konstante \(a\) gilt also:$$\operatorname{Cov}(aX,Y)=a\operatorname{Cov}(X,Y)$$$$\operatorname{Cov}(X+Y,Z)=\operatorname{Cov}(X,Z)+\operatorname{Cov}(Y,Z)$$und dasselbe für die 2-te Komponente. Dann ist es hilfreich zu wissen, dass die Covarianz einer Zufallsvariablen mit einer Konstanten null ist, weil bei einer Konstanten nichts variiert. Damit gilt:$$\operatorname{Cov}(4X_1+1,X_2-11)=\operatorname{Cov}(4X_1,X_2)=4\operatorname{Cov}(X_1,X_2)=4\sigma_{12}=4\cdot12=48$$