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Halbordnung und Hasse-Diagramm der Halbordnung
Teil i: Zeigen, dass \( S \) eine Halbordnung auf \(\mathbb{N}\) definiert
Um zu zeigen, dass \( S \) eine Halbordnung auf \(\mathbb{N}\) definiert, müssen wir nachweisen, dass die Relation \( S \) reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.
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Reflexivität: Für jedes \( a \in \mathbb{N} \), muss gelten, dass \( (a, a) \in S \), da wir \( b = a \) mit \( k=1 \) (da \( 1 \in \mathbb{N} \)) setzen können. Daher ist \( S \) reflexiv.
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Antisymmetrie: Um zu zeigen, dass \( S \) antisymmetrisch ist, nehmen wir an, dass \( (a, b) \in S \) und \( (b, a) \in S \). Das bedeutet, es existieren \( k_1, k_2 \in \mathbb{N} \), sodass \( b = k_1 \cdot a \) und \( a = k_2 \cdot b \). Setzt man diese Gleichungen ineinander ein, erhält man \( a = k_2 \cdot k_1 \cdot a \). Da \( a, k_1, k_2 \) natürlich Zahlen sind, folgt hieraus, dass \( k_1 \cdot k_2 = 1 \), was nur der Fall sein kann, wenn \( k_1 = k_2 = 1 \), und daher \( a = b \). Somit ist \( S \) antisymmetrisch.
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Transitivität: Wenn \( (a, b) \in S \) und \( (b, c) \in S \), dann gibt es \( k_1, k_2 \in \mathbb{N} \), sodass \( b = k_1 \cdot a \) und \( c = k_2 \cdot b \). Durch Einsetzen erhält man \( c = k_2 \cdot k_1 \cdot a \), und da \( k_2 \cdot k_1 \in \mathbb{N} \), folgt \( (a, c) \in S \), was zeigt, dass \( S \) transitiv ist.
Da \( S \) reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist, definiert es eine Halbordnung auf \(\mathbb{N}\).
Teil ii: Hasse-Diagramm für \( A=\{1,2,3,5,6,10,15,30\} \) bezüglich der Halbordnung \( S \)
Um das Hasse-Diagramm zu erstellen, betrachten wir die Beziehung zwischen den Elementen von \( A \) gemäß unserer Halbordnung \( S \): \( b = k \cdot a \) für \( k \in \mathbb{N} \).
- Das
kleinste Element in \( A \) ist \( 1 \), da \( 1 \) von jedem anderen Element in \( A \) geteilt wird (\(k\) kann jedes Element von \( A \) sein).
- Das
größte Element in \( A \) ist \( 30 \), da \( 30 \) jedes andere Element in \( A \) teilen kann (mit verschiedenen \(k\)).
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Minimale Elemente sind solche, die keine weiteren Elemente in \( A \) direkt unter sich haben. In diesem Fall ist nur \( 1 \) ein minimales Element.
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Maximale Elemente sind solche, die keine weiteren Elemente in \( A \) direkt über sich haben. Hier ist \( 30 \) das einzige maximale Element.
Die direkten "Teiler"-Beziehungen in \( A \) sind wie folgt:
- \(1\) teilt jedes Element, ist also direkt unter \(2\), \(3\), \(5\), und \(6\).
- \(2\) führt zu \(6\), \(10\), und \(30\).
- \(3\) führt zu \(6\) und \(15\), und durch \(6\) und \(15\) zu \(30\).
- \(5\) führt direkt zu \(10\) und durch \(10\) zu \(30\).
- \(6\), \(10\), und \(15\) führen direkt zu \(30\).
Die grafische Darstellung dieser Beziehungen in einem Hasse-Diagramm zeigt eine Hierarchie, bei der \(1\) an der Unterseite ist und \(30\) an der Spitze, mit den entsprechenden Verbindungen zu den Elementen dazwischen basierend auf der Teiler-Beziehung. Elemente werden durch Punkte dargestellt und eine Linie zwischen zwei Elementen zeigt an, dass das untere Element das obere direkt teilt ohne ein weiteres Element aus \( A \) dazwischen.
Um das Diagramm hier textuell zu beschreiben:
- Von \(1\) gehen Linien zu \(2\), \(3\), \(5\), und \(6\).
- Von \(2\) gehen Linien zu \(6\), \(10\), und direkt zu \(30\).
- Von \(3\) gehen Linien zu \(6\), \(15\), und durch diese zu \(30\).
- Von \(5\) geht eine Linie zu \(10\) und von dort zu \(30\).
- \(6\), \(10\), und \(15\) sind direkt mit \(30\) verbunden.
Jedes Element zwischen \(1\) und \(30\) veranschaulicht die teilbaren Beziehungen, wobei die direktesten Pfade im Hasse-Diagramm eingezeichnet sind.
