Vektoren, Distributivgesetz beweisen

Question

Aufgabe:

Es seien \( \vec{x} \) , \( \vec{y} \)  Vektoren und Elemente von R\( ^{n} \) mit a, b Elemente aus R. Zeigen Sie:

a) (a+b)\( \vec{x} \) = a\( \vec{x} \) + b\( \vec{x} \)

b) a ( \( \vec{x} \) + \( \vec{y} \) ) = a\( \vec{x} \) + a\( \vec{y} \)

Problem/Ansatz:

Beweisen soll man die Distributionsgesetze bei Vektoren jedoch bekomme ich den Beweis nicht hin. Ich hab bei beiden versucht die Terme auszuklammern, um auf ax + bx zu kommen und auf ax + ay zu kommen, jedoch gehe ich davon aus, dass dies als Beweis nicht reicht. Würde mich sehr über eine Rückmeldung freuen

Answer 1

Aloha :)

$$(a+b)\vec x=(a+b)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(a+b)x_1\\(a+b)x_2\\\vdots\\(a+b)x_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax_1+bx_1\\ax_2+bx_2\\\vdots\\ax_n+bx_n\end{pmatrix}$$$$\phantom{(a+b)\vec x}=\begin{pmatrix}ax_1\\ax_2\\\vdots\\ax_n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}bx_1\\bx_2\\\vdots\\bx_n\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=a\vec x+b\vec x$$

$$a(\vec x+\vec y)=a\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}\right]=a\begin{pmatrix}x_1+y_1\\x_2+y_2\\\vdots\\x_n+y_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a(x_1+y_1)\\a(x_2+y_2)\\\vdots\\a(x_n+y_n)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax_1+ay_1\\ax_2+ay_2\\\vdots\\ax_n+ay_n\end{pmatrix}$$$$\phantom{a(\vec x+\vec y)}=\begin{pmatrix}ax_1\\ax_2\\\vdots\\ax_n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}ay_1\\ay_2\\\vdots\\ay_n\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}+a\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}=a\vec x+a\vec y$$