Bestimmen Sie für die folgenden Untervektorräume des R^4 jeweils eine Basis und die Dimension

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie Basis und Dimension

1. a) Bestimmen Sie für die folgenden Untervektorräume des \( \mathbb{R}^{4} \) jeweils eine Basis und die Dimension:

(i) \( U_{1}:=\operatorname{span}\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}, \) wobei \( v_{1}=(1,-2,0,1), v_{2}=(-2,1,1,1), v_{3}=(1,7,-3,-8) \)

(ii) \( U_{2}:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} \mid x_{1}-x_{3}=0, x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\right\} \)

(iii) \( U_{1} \cap U_{2} \)

Tipp zu (ii): Fassen Sie \( U_{2} \) als Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems auf.

b) Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von \( U_{1}+U_{2} \).

Answer 1

Hallo

i)stelle fest wieviele der § Vektoren linear unabhängig- sind (Kontrolle 3) dann ist diese Anzahl die Dimension und sie bilden eine Basis.

ii) 2 Bedingungen also  Dimension 4-3=2, wähle einmal x1=1. x2=0 die anderen nach Bedingung, dann x1=1, x2=0

dann hast du die 2 Basisvektoren.

ii) der Schnitt besteht aus den Vektoren die in beiden Räumen liegen,

Comments

Dankeschön, bei (i) blicke ich dann langsam durch !!

Müsste ich bei (ii) dann auch mit der linearen Unabhängigkeit anfangen ?

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Hallo

nein die 2 Vektoren, die du hinschreibst sind ja von allein linear unabhängig.

Gruß lul

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Bei (ii) steht dass ich U2 als Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystem auffassen soll.

Irgendwie fällt es mir schwer (ii) durch ein Gleichungssystem zu lösen

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Danke, hast mir bei meiner Aufgabe auch geholfen! (Y)