Lemma von Fatou und der Limes inferior von Funktionenfolgen?

Question

Das Lemma von Fatou lautet:

Sei \((X,\Sigma, \mu)\) ein Maßraum. Für jede Folge \((f_n)_{n\in \mathbb{N}}\) nichtnegativer, messbarer Funktionen \(f_n : X\to \mathbb{R}\cup \{\infty\}\) gilt:$$\int \limits_{X}\liminf\limits_{n\to\infty}f_n \, \mathrm{d}\mu\leq \liminf\limits_{n\to\infty}\int \limits_{X}f_n\, \mathrm{d}\mu$$ Was kann ich mir unter \(\liminf\limits_{n\to\infty}f_n\) vorstellen? Was ist der Limes Inferior einer Funktionenfolge?

Auf Wikipedia gibt es hier zu der Formel oben den Zusatz:

"[...] wobei auf der linken Seite der Limes inferior der Folge \((f_n)_n\) punktweise zu verstehen ist"

Weiter habe ich gelesen:$$\liminf \limits_{n\to\infty}f_n \, : \, X \to [0,\infty], \left(\liminf \limits_{n\to\infty}f_n\right)(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\inf\limits_{k\geq n}f_k(x)\right)$$ Nun stellt sich aber die Frage was das Infimum einer Funktionenfolge ist? Findet man damit eine spezielle Funktion \(f_j(x)\) für die gilt \(0\leq f_j(x)\leq f_k(x)\) für alle \(x\)?

Comments

Nun stellt sich aber die Frage was das Infimum einer Funktionenfolge ist?

Die Folge \( (f_n(x))_{n \in \mathbb N} \) ist doch reellwertig? Der Limes inferior einer Funktionsfolge ist die Funktion:

$$ \liminf_{n\to \infty} f_n : X \to [0,\infty], ~ x \mapsto \liminf_{n \to \infty} f_n(x) = \sup_{n \in \mathbb N} \inf_{k \ge n} f_k(x) $$ Das heißt der Limes inferior der Funktionsfolge ordnet jedem \( x \in X \) den kleinsten Häufungswert der Bildfolge \( (f_n(x))_{n \in \mathbb N} \) zu.

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Danke für die Antwort. Ich muss das erst einmal sacken lassen und recherchiere noch einmal ein wenig mein Wissen bzgl. Häufungswerten auffrischen. Stelle dann ggf. eine Rückfrage.

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Ich habe meinen Denkfehler aber erkannt: Ich war eine Ebene zu weit.

Wählt man z. B. einfach \(x=1\)  ist \((f_1(1),f_2(1),f_3(1),...)\) ja eigentlich nur eine Folge reeller Zahlen.