Vertauschbarkeit von limes und Integral

Question

ich habe in einer Übungsaufgabe den Grenzwert der Folge $$ f_{n}(x) = \frac{x}{n^{2}*e^{\frac{x}{n}}} $$ bestimmt, welcher die konstante Nullfunktion ist. Es liegt sogar gleichmäßige Konvergenz vor. Danach habe ich bewiesen, dass das Integral

$$ \int \limits_{0}^{∞} fn(x) dx = 1 $$ für alle n, also auch

$$ \lim\limits_{n\to\infty}\int \limits_{0}^{∞} fn(x) dx = 1 $$

Nun stellt sich mir bloß die Frage, dass man doch eigentlich bei stetigen, Riemann-integrierbaren, gleichmäßig-konvergierenden Funktionenfolgen das Integral und den limes vertauschen kann. Selbst wenn die obere Grenze des Integrals nicht unendlich wäre, würden hier doch unterschiedliche Werte rauskommen, wenn man im Integral oben den limes und das Integral vertauscht?

Also muss ich irgendwas übersehen und würde mich über Aufklärung freuen :)

Answer 1

Für das endliche Integral gilt das tatsächlich. Da darfst du, gegeben gleichmässige Konvergenz, den Limes und das Integral vertauschen. Im unendlichen Fall gilt das nun im Allgemeinen nicht mehr, da du dafür zusätzlich noch \(\lim_{n \to \infty}\) und \(\lim_{m \to \infty}\) vertauschen müsstest (hier ist \(m\) die obere Grenze deines Integrals).

Comments

Ah ja, das uneigentliche Integral hätte ich mal ordentlich aufschreiben können, dann hätte man das gesehen. Danke!