Grenzwert berechnen. lim_(n-> unendlich) (f_(n)(x)) = lim_(n->unendlich) (-2nxe^{-n^2 x^2} )

Question

Leute!
Ich brauche Hilfe mit der Berechnung des Limes von dem folgenden Ausdruck:


für n → ∞

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeige: Funktionenfolge ( e-n^2x^2)/ n konvergiert glm gegen eine diffbare Funktion

Stichworte: gleichmäßig,differenzierbar,funktion,funktionenfolge,konvergenz,grenzwert,differenzierbarkeit

Hey zusammen , ich habe eine Frage zu folgenden folge : \( \frac{e^{-n^2 x^2}}{n} \)

Kommentar von Ullim: Meinst so was?

Wie zeige ich dass diese gleichmässig gegen eine differenzierbare Funktion konvergiert und  kann mir jemand zeigen wie die Ableitung (f‘)^n Punktweise aber nicht glm konvergiert ? Ich sitze an der Aufgabe schon ewig und irgendwie komme ich nicht voran :/

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Du hast einen Caret ^ -Konflikt im Term. Erkläre den genauer. Ansonsten musst du dich auf ähnlichen Fragen (unten) konzentrieren. Bsp. https://www.mathelounge.de/230138/zeigt-dass-gegen-konvergiert-die-ableitungen-jedoch-nicht

EDIT: "Duplikat* umgeleitet auf eine andere Frage, da nach 4 Tagen immer noch nicht klar, was der Gast gemeint hat. 

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Vom Duplikat:

Titel: Gleichmässige Konvergenz von Funktionenfolge zeigen.f_n(x)= x/ (n^{2} * exp(x/n) ) für n gegen unendlich

Stichworte: funktionenfolge,gleichmäßig,konvergenz,folge,glm

Wie zeige ich dass fn= x/ n^2 * exp(x/n) für n gegen unendlich gleichmäßig konvergiert ?

EDIT: Gemäss Kommentaren vermutlich f_n(x)= x/ (n^{2} * exp(x/n) )

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fn= x/ n^2 * exp(x/n) 

Meinst du

f_n(x)= x/ n^2 * exp(x/n) 

oder

f_n(x)= x/ (n^2 * exp(x/n) ) 

?

Man liest von links nach rechts, wenn keine Klammern gesetzt werden.

EDIT: Es gab in den letzten Tagen schon einige Fragen zu glm. Konvergenz von Funktionenfolgen. Vielleicht gibt es schon Tipps bei den offenen Fragen: https://www.mathelounge.de/unanswered oder du suchst bei https://www.mathelounge.de/unanswered?by=selected bzw. hier https://www.mathelounge.de/questions

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Ich glaube es wird hier das gemeint:

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Könntest du diese Frage denn beantworten? Wenn ja, ändere ich die Fragestellung passend ab.

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Nein, kann ich nicht. Deshalb verfolge ich diese Frage :D

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Habe die Klammern nun trotzdem mal ergänzt, da die gegebene Version vermutlich nicht glm konvergiert.

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Unter Verwendung von \(\exp u>u\) abschaetzen. Die Aufgabe ist damit ein Einzeiler.

Answer 1

Falls man das so machen darf: (?)

lim_(n-> unendlich) (f_(n)(x))

= lim_(n->unendlich) (-2nxe^{-n^2 x^2} )   | Annahme x≠0 und n ≠0.

 = lim_(n->unendlich) (-2nx / e^{n^2 x^2} )      | Hospital (Abl. oben und unten nach n)

= lim_(n->unendlich) (-2x / (2nx^2 *e^{n^2 x^2} ))  |kürzen

= lim_(n->unendlich) (-2 / (2nx *e^{n^2 x^2} ))

= 0 , für x≠0.

An der Stelle x=0 gilt sowieso für alle natürichen n, dass f_(n)(x)  = 0.

D.h.

lim_(n-> unendlich) (f_(n)(x)) = 0 für alle x Element R.