Grenzwert bestimmen. lim_(x->unendlich) (cos(√(x)) - cos(√(x-1))

Question

ich wollte fragen ob mir jemand bei folgendem Problem behilflich sein kann?

Jeder Tipp würde mir weiter helfen weiß wirklich nicht wie ich anfangen soll.

"lim_(x->∞) (cos(sqrt(x)) - cos(sqrt(x - 1)))

MfG  
lim_(x->unendlich) (cos(√(x)) - cos(√(x-1)) 

Answer 1

verwende die Formel

cos(a) - cos(b) = - 2 * sin((a+b)/2)*sin((a-b)/2)

dann hast du

-2 * sin(  (√x + √(x-1) ) / 2 )  *  sin(  (√x - √(x-1) ) / 2 ) und betrachte zunächst den Grenzwert von

(√x - √(x-1) ) / 2 

= (√x - √(x-1) )*(√x + √(x-1) ) / ( 2 * (√x + √(x-1) ) )=  (  x  - ( x-1 ) )  /   ( 2 * (√x + √(x-1) ) )

=    1  /   ( 2 * (√x + √(x-1) ) )

Und das hat für x gegen ∞ ja den Grenzwert 0 .

Da sin eine stetige Funktion ist, ist  0  auch der GW von 

sin(  (√x - √(x-1) ) / 2 )  .

Die anderen beiden Faktoren in dem Term

-2 * sin(  (√x + √(x-1) ) / 2 )  *  sin(  (√x - √(x-1) ) / 2 ) 

sind für x gegen unendlich beschränkt.

Also insgesamt GW 0.