Wie berechne ich den Grenzwert von diesem Bruch mit cos(1/x) - cos(1/x0) ?

Question

Wie berechne ich folgenden Grenzwert?

$$ \lim _ { x \rightarrow x_0} \frac { x _ { 0 } \cdot x \left( - \cos \left( \frac { 1 } { x _ { 0 } } \right) + \cos \left( \frac { 1 } { x } \right) \right) } { x - x _ { 0 } } $$

mit x ≠ 0

Comments

Sicher, dass x gegen unendlich gehen soll?

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Soll gegen xo gehen

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Sicher das alles stimmt? Der Faktor x_0*x sieht merkwürdig aus. Sollst du die Ableitung einer Funktion berechnen? Wenn ja , wie lautet die Funktion?

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Da ich gerade am Handy bin, poste ich eben das Bild 

Answer 1

Die Funktion ist für x≠0 differenzierbar, da es sich um ein Produkt/Verkettung differenzierbarer Funktionen handelt.

Einzige Problemstelle ist bei x=0. Hier musst du den Differentialquotienten aufstellen und schauen, ob der Grenzwert existiert.

Der richtige Grenzwert lautet:

$$f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2cos(\frac{1}{x})}{x}\\ =\lim\limits_{x\to 0}xcos(\frac{1}{x})=0\\$$

Es kommt 0 heraus, weil x gegen 0 strebt und cos(1/x) beschränkt ist. Die Funktion ist also überall differenzierbar.

Comments

Hi, danke dafür. Wie würde denn die Ableitung bei x≠0 aussehen?

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Für x ungleich 0 ist f'(x)=2xcos(1/x)+sin(1/x)

Das kannst du mit den Ableitungsregeln ausrechnen.

Answer 2

Hallo

 Zähler und Nenner durch x teilen, dann  cos(1/x) ->1 und x0/x ->0

da steht hoffentlich x0≠0

Gruß lul