Aloha :)
Wenn du ein Integral zu berechnen hast, bei dem die untere Grenze der negative Wert der oberen Grenze ist, gilt immer:$$\int\limits_{-a}^a f(x)\,dx=\int\limits_0^a\left[f(x)+f(-x)\right]\,dx$$Das ist ein unter Physikern gut bekannter "Trick", denn solche Integrale tauchen bei Berechnungen zur Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie relativ oft auf. In deinem konkreten Fall folgt daraus:
$$\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\cos x}{e^{1/x}+1}\,dx=\int\limits_{0}^{\pi/2}\left[\frac{\cos x}{e^{1/x}+1}+\frac{\cos(-x)}{e^{1/(-x)}+1}\right]\,dx$$$$=\int\limits_{0}^{\pi/2}\cos x\left(\frac{e^{-1/x}+1+e^{1/x}+1}{e^{1/x-1/x}+e^{-1/x}+e^{1/x}+1}\right)\,dx=\int\limits_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx=\left[\sin x\right]_0^{\pi/2}=1$$
