Integral: Zeigen sie, dass für m,n ∈ ℕ0 gilt:

Question

Aufgabe:

Es sei T > 0 und ω_n = \( \frac{2πn}{T} \) ∈ ℕ_0.

Zeigen sie, dass für m,n ∈ ℕ₀ gilt:

\( \int\limits_{ -T/2}^{\ T/2} \) cos(ω_mt) cos(ω_nt) dt =

 \( \frac{T}{2} \) für m = n ≠ 0

T für m = n = 0

0 für m ≠ n

Problem/Ansatz:

Habe erstmal das bestimme Integral ausgerechnet.

\( \int\limits_{ 0}^{\ T} \) cos(ω_mt)² = \( \frac{sin(u) * cos(u)}{4πn} \) + \( \frac{t}{2} \)  , mit u = \( \frac{2πn}{T} \) * t

Das kann ich für m = n ≠ 0 ja erstmal so machen, da kommt dann auch \( \frac{T}{2} \) raus.

Für m = n =  0 wäre es, \( \int\limits_{ 0}^{\ T} \) cos(0)² dt = \( \int\limits_{ 0}^{\ T} \) 1 dt = t, für m = n = 0 kommt also T raus.

Wie zeige ich es aber für m ≠ n kann ich da sagen, dass cos(x) * cos(y) = \( \frac{1}{2} \) * (cos(x-y) + cos(x+y)) ist und dann das Integral damit ausrechnen ?

Answer 1

Wie zeige ich es aber für m ≠ n kann ich da sagen, dass cos(x) * cos(y) = \( \frac{1}{2} \) * (cos(x-y) + cos(x+y)) ist und dann das Integral damit ausrechnen ?

Ja das geht.

Comments

Falls bitte ein Moderator oder ähnliches die Frage schließen könnte, ich kriege es nicht hin.

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Noch besser für später (falls du das möchtest), wenn du in einem Kommentar sogar noch deine vollständige Antwort hinschreibst.