Aufgabe:
Zeige, dass die Funktion $$f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}, (x,y)^t\rightarrow(y-x^2)(y-2x^2)$$ für jede Gerade $$G\subset \mathbb{R}^2$$ die durch den Ursprung geht, ein isoliertes lokales Minimum in (0,0) besitzt, wenn f nur auf Elemente von G angewandt wird: $$f:G\rightarrow \mathbb{R}$$
Problem/Ansatz:
Also ich hatte mir überlegt, dass ich ja im Allgemeinen eine Ursprungsgerade als (x,mx) schreiben kann, und wenn ich das in mein f(x,y) einsetze, kriege ich ein Polynom von $\mathbb{R}$ nach $\mathbb{R}$, was sich etwas einfacher handzuhaben anfühlt, wäre dann $$f(x)=2x^4-3mx^2+m^2x^2$$.
Zu zeigen ist, dass ein delta>0 existiert, sodass für alle x!=a in der delta-Umgebung von a gilt, dass f(a)<f(x).
In meinem Fall wäre ja a=(0,0)... bzw wegen der Geraden kann ich das ganze ja eindimensional betrachten, oder?
Aber ich komme da halt irgendwie immer auf insgesamt 8 verschiedene Fälle bzw Relationen m<-1, 0>m>-1, 0<m<1, m>1, und dann jeweils noch das Vorzeichen des Funktionsarguments umdrehen...
Wenn da jemand einen anderen Ansatz hätte als irgendwie die ganzen Fallunterscheidungen und Epsilon-Deltas durchzuprügeln wäre ich sehr dankbar, weil ich mit dem Ansatz auch immernoch Schwierigkeiten habe, die Potenzen da irgendwie so umzuschreiben, dass das ganze in diesem Fall eben >0 ist...
Die Hesse Matrix wäre in dem Punkt für mein f(x) bzw f(0) ja eben auch 0 und kann damit auch keine Aussage treffen, ich muss ja also mit der Definition arbeiten aber ich kann mir grad nichts vorstellen, was da allgemeine Aussagen erlaubt, man hat ja immer die nervigen Potenzen drin...
