Gibt es bei dieser Aufgabe eine einfache Möglichkeit die lokalen minima/maxima zu bestimmen?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} y(H)=e^{-0,2 t} \cdot 2 \cdot \cos (4 \pi t) \quad t[0 ; 1] \\ N R:=v=e^{-0,2 t} \quad V=2 \cdot \cos (4 \pi t) \\ v^{\prime}=-0,2 \cdot e^{0,2 t} \quad v^{\prime}=-8 \pi \sin (4 \pi t) \\ y(t)^{\prime}=-0,2 \cdot e^{-0,2 t} \cdot 2 \cdot \cos (4 \pi t)+e^{-0,2 t} \cdot(-8 \pi \sin (4 x t)) \\ y / t)^{\prime}=e^{-a t t} \cdot(-0,2 \cdot 2 \cdot \cos (4 \pi t)-8 \pi \sin (a \pi t) \\ V(t)^{\prime}=e^{-0,2 t}-(-0,4 \cos (4 \pi t)-8 \pi \sin (4 \pi t) \\ e^{-02 t}>0 \\ -0,4 \cos (4 \pi t)-8 \pi \sin (6 \pi t)=0 \quad 1: \cos (4 \pi t) \\ -0,4-8 \pi \tan (4, H t)=01+0,4 \\ -8 \pi \tan (4 \pi t)=0,4):-8 \pi \\ \tan (4 \pi t)=-0,0159 / \arctan \\ 4 \pi t=\arctan (-0,055)+n \pi \mid: 4 \pi \\ \epsilon=-0,00128+\frac{1}{4} n \\ t_{1}=0,24872 ; t_{2}=0,49872 ; t_{3}=0,74872 \\ t_{q}=0,99872 \\ \end{array} \)
Randucte:
\( y(0)^{\prime}=2 \quad v(1)^{\prime}=1,63746 \)
Nulestellen:
\( \begin{array}{l} y(0,24872)^{\prime}=-1,9027 \\ y(0,49872)^{\prime}=88001,81 \\ y(0,74872)^{\prime}=-1,7216 \\ y(0,99872)^{\prime}=1,6377 \end{array} \)

Problem/Ansatz:

Gibt es bei dieser Aufgabe eine einfache Möglichkeit die lokalen minima/maxima zu bestimmen? Der Dozent aus meiner Vorlesung hat an einer anderen ähnlichen aufgaben das so bestimmt:

Nun frage ich wie man darauf kommt das so machen zu dürfen? Vorallem weil die erste Ableitung von der e-Funktion hier nichtmal stimmt? Eine explizite erklärung würde hier mir echt weiterhelfen. LG

Answer 1

y(t) = 2·e^(- 0.2·t)·COS(4·pi·t)

y'(t) = - e^(- 0.2·t)·(0.4·COS(4·pi·t) + 8·pi·SIN(4·pi·t)) = 0

8·pi·SIN(4·pi·t) = -0.4·COS(4·pi·t)

SIN(4·pi·t)/COS(4·pi·t) = -0.4/(8·pi)

TAN(4·pi·t) = - 1/(20·pi)

4·pi·t = ATAN(- 1/(20·pi)) + k·pi

t = (ATAN(- 1/(20·pi)) + k·pi)/(4·pi)

[k, t(k);
1, 0.2487335921;
2, 0.4987335921;
3, 0.7487335921;
4, 0.9987335921]

Answer 2

Aloha :)

Ja klar, gibt es eine sehr einfache Möglichkeit die Extrema von$$y(t)=e^{-0,2t}\cdot2\cdot\cos(4\pi t)\quad;\quad t\in[0;1]$$zu bestimmen. Du brauchst dazu sogar nichts zu rechnen.

Die Funktion \(e^{-0,2t}\) fällt mit zunehmendem \(t\) streng monoton ab und führt nur zu einer Abschwächung der Amplitude der Cosinus-Schwingung. In der Physik heißt eine solche Kurve "Einhüllende", weil sie die Schwingung einhüllt. Der Faktor \(2\) beeinflusst ebenfalls nur die Amplitude der Cosinus-Schwingung. Die Lage aller Nullstellen und Extremstellen wird einzig und allein durch den Faktor \(\pink{\cos(4\pi t)}\) bestimmt.

~plot~ e^(-0,2*x)*2*cos(4*pi*x) ; cos(4*pi*x) ; e^(-0,2*x)*2 ; [[0|5|-2,5|2,5]] ~plot~

Die Maxima von \(\cos\varphi\) liegen bei geraden Vielfachen von \(\pi\), also hier bei$$\cos(4\pi\cdot\pink0)\quad;\quad\cos\left(4\pi\cdot\pink{\frac12}\right)\quad;\quad\cos(4\pi\cdot\pink1)$$

Die Minima von \(\cos\varphi\) liegen bei ungeraden Vielfachen von \(\pi\), also hier bei$$\cos\left(4\pi\cdot\pink{\frac14}\right)\quad;\quad\cos\left(4\pi\cdot\pink{\frac34}\right)$$

Comments

Die Lage aller Nullstellen und Extremstellen wird einzig und allein durch den Faktor cos(4·pi·t) bestimmt.

Das widerspricht sowohl der Rechnung des Fragestellers als auch meiner Rechnung. Das stimmt ungefähr, aber exakt wäre das nicht.

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Doch, das stimmt sogar ganz exakt.

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Die Extremstellen von

y = EXP(-0.5x)·COS(x)

werden doch auch nicht nur von der Kosinusfunktion bestimmt.

Die Extremstellen der grünen Funktion stimmen nicht exakt mit den Extremstellen der roten Funktion überein.

~plot~ e^(-0.5x);cos(x);e^(-0.5x)*cos(x) ~plot~

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Uff... Du hast Recht, ich habe das gerade auch nochmal selbst durchgerechnet. Ich habe das damals in Experimentalphysik wie beschrieben gelernt und mir war gar nicht bewusst, dass das nur eine Näherung ist.

Wieder was gelernt ;)

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Anschaulich liegen die Berührpunkte an den Stellen, an denen der Cosinus ±1 ist. Da die einhüllende Kurve keine waagerechte Tangente hat, können dort keine Extrema vorliegen, sondern müssen etwas links davon sein.