Aloha :)
Wir überlegen uns zuerst, wie der Gradient einer Funktion \(f(r)\) lautet, die nur vom Betrag \(r=\|\vec r\|\) des Vektors \(\vec r=(x_1;x_2;\ldots;x_n)\) abhängt. Die \(i\)-te Komponente dieses Gradienten folgt mit der Kettenregel:$$\operatorname{grad}_if(r)=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{\partial }{\partial x_i}\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}$$$$\phantom{\operatorname{grad}_if(r)}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{2x_i }{2\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{x_i }{r}=f'(r)\cdot\frac{x_1}{r}$$Da \(f(r)\) nur von \(r\) abhängt, ist \(\frac{\partial f}{\partial r}=f'(r)\) die einfache Ableitung von \(f\) nach \(r\). Fassen wir alle Komponenten zum Gradienten zusammen, erhalten wir:$$\operatorname{grad}f(r)=f'(r)\cdot\begin{pmatrix}x_1/r\\x_2/r\\\vdots\\x_n/r\end{pmatrix}=f'(r)\cdot\frac{1}{r}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=f'(r)\cdot\frac{1}{r}\,\vec r$$$$\boxed{\operatorname{grad}f(r)=f'(r)\cdot\vec r^0}$$Diese Formel ist ist so nützlich, dass ich ihr sogar einen Rahmen spendiert habe. Man braucht also einfach nur die Funktion nach dem Betrag \(r\) abzuleiten und mit dem Einheitsvektor \(\vec r^0\) zu multiplizieren.
In deinem konkreten Fall ist also:$$\operatorname{grad} f(\vec x)=\frac{d}{dx}\left(\cos\left(3\pi x^2\right)e^{-x^2}\right)\cdot\frac{\vec x}{x}$$$$\phantom{\operatorname{grad} f(\vec x)}=(-\sin(3\pi x^2)\,6\pi x\cdot e^{-x^2}+\cos(3\pi x^2)\cdot e^{-x^2}(-2x))\cdot\frac{\vec x}{x}$$$$\phantom{\operatorname{grad} f(\vec x)}=-2xe^{-x^2}\left(3\pi\sin(3\pi x^2)+\cos(3\pi x^2)\right)\cdot\frac{\vec x}{x}$$$$\phantom{\operatorname{grad} f(\vec x)}=-2e^{-x^2}\left(3\pi\sin(3\pi x^2)+\cos(3\pi x^2)\right)\cdot\vec x$$
Da die Exponentialfunktion nie null wird, kann nur die Klammer null werden.$$3\pi\sin(3\pi x^2)+\cos(3\pi x^2)=0$$An den Stellen \(x\), bei denen \(\cos(3\pi x^2)=0\) ist, gilt \(\sin(3\pi x^2)=\pm1\). Wir können also durch \(\cos(3\pi x^2)\) dividieren, ohne mögliche Nullstellen zu verlieren:$$3\pi\tan(3\pi x^2)+1=0\implies\tan(3\pi x^2)=-\frac{1}{3\pi}\implies3\pi x^2=\arctan\left(-\frac1{3\pi}\right)+n\pi$$Bei Anwendung der Arcus-Tangens-Funktion haben wir berücksichtigt, dass die Tangens-Funktion \(\pi\)-periodisch ist. Da \(x\) als Betrag eines Vektors immer \(\ge0\) sein muss, fällt die negative Wurzel weg, sodass$$x_n=\frac{1}{\sqrt{3\pi}}\sqrt{n\pi-\arctan\left(\frac{1}{3\pi}\right)}\quad;\quad n\in\mathbb N$$
Da wir es hier mit einem radial-symmetrischen Problem zu tun haben, liegen alle möglichen Extrama auf Kugelschalen mit den berechneteten Abständen \(x_n\) vom Ursprung.
