Zeigen Sie, dass die Funktion ein isoliertes lokales Minimum besitzt.

Question

Hallo,

Könnte mir jemand helfen, die folgende Teil-Aufgabe zu lösen?

Für (x,y) ∈ R² sei

                           P(x,y) = (y − x²)(y−3x²).

Zeigen Sie, dass für jedes h = (h₁,h₂) ∈ R² \ (0,0)  die Funktion ϕh : t ↦ P(th₁,th₂) in 0 ein isoliertes lokales Minimum besitzt.

meine Idee ist :

1- den Punkt (h_1,h₂) in der Hesse-Matrix einzusetzen.

2- zeigen dass sie Matrix positiv definit ist.

Viele Grüsse,

Joseph.

Answer 1

Hallo,

zu zeigen:

(1) g'(t)=0 => t_{max}=0

(2) g''(0)<0

Comments

Hallo, Danke für die Antwort.

Aber wie komme ich jetzt an die Funktion, die ich ableiten soll?

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Ich sehe gerade, dass ich die Funktion willkürlich \(g\) genannt habe. In der Frage steht \(h\). Naja, du hast:$$h : \mathbb{R}\to \mathbb{R}, t\mapsto P(th_1,th_2)=(th_2-t^2h_1^2)(th_2-3t^2h_1^2)$$ Das ist im Prinzip das, was du in der Schule als "Kurvenschar" kennengelernt hast, nur, dass wir statt einer Variable (früher in den Schulbüchern eigentlich immer \(a\)), nun hier eben \(h_1\) und \(h_2\) als freie Parameter haben

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Super, Vielen lieben Dank. ich hab's jetzt.

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