Behauptung widerlegen, dass die Funktion ein lokales Minimum haben muss

Question

Behauptung:  Wenn bei einer Funktion f die zweite Ableitung immer positiv ist, d.h. f''(x)>0 für alle reellen Zahlen x, dann muss die Funktion ein lokales Minimum haben.

Suche nun ein geeignetes Beispiel, welches klar macht, dass diese Aussage nicht stimmt.

Zusätzlich sollte eine Bedingung aus dem Bereich der Differentialrechnung genannt werden, welche erfüllt sein muss, so dass die Funktion an einer bestimmten Stelle ein lokales Minimum hat.

Comments

Untersuche mal die Beispiele aus deiner anderen Frage, dann düfte sich diese hier erledigt haben!

Answer 1

f(x) = e ^-x  wäre ein Gegenbeispiel.

f ' (x) = 0 und f ' ' (x) > 0 gibt Min. bei x.

Comments

Es wurde nach einer Bedingung gefragt, "welche erfüllt sein muss"; d.h. nach einer notwendigen Bedingung. Das ist "\(f'(x)=0\) und \(f''(x)>0\)" nicht.

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Bedingung, die erfüllt sein muss, damit man sagen kann, dass dort ein lok. Min ist,

muss eine hinreichende Bedinguing sein.

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Nein.
Wenn die Bedingung erfüllt sein muss, dann bedeutet das: Wenn die Bedingung nicht erfüllt ist, dann liegt kein lokales Minimum vor.

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problematisch ist dann die Formulierung "hat" in der Aufgabe.

Verstehe ich so:

wenn die Bedingung erfüllt ist HAT die Fkt dort ...

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Ich würde es andersrum sehen: Wenn die Bedingung nicht erfüllt ist, kann an dieser Stelle kein lokales Minimum vorliegen. Bzw: Wenn die Funktion an einer Stelle ein lokales Minimum besitzt, dann ist dort die Bedingung erfüllt ist.