Lokales und Globales Minimum (Minima)?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Funktionen f: ℝ→ℝ und h: ℝ\ {mas} → ℝ mit

f(x)=bx³ + cx + d,  h(x)=me^rrx/x-mas

(im Exponenten steht ein x), wobei b ≥ 0, c,d ∈ℝ sowie m > 0, r ≠ 0, a, s ∈ℝ.

Für welche Werte b ≥ 0, c, d ∈ℝ bzw. m > 0, r ≠ 0, a, s ∈ℝ besitzen diese Funktionen

a) kein lokales Minimum?

b) genau ein lokales Minimum?

c) mehrere lokale Minima?

Und in welchen Fällen sind die lokalen Minima auch globale Minima?

Hilfe, ich bin vollkommen verwirrt das passiert, wenn man über Weihnachten alles vernachlässigt.

Comments

Was soll \( \text{mas} \) bedeuten und wie sieht die Funktion \( h(x) \) aus?

Wirklich $$  h(x) = m \frac{ e^{ r \cdot r \cdot x } } {x} - \text{mas} ???$$

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Auch wenn die Klammerung falsch ist sollte dre Hinweis auf die Definitionsmenge wohl erklären wie es gemeint ist.

Die Definitionsmenge ist R \ {mas}

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ist eine Anspielung an merry x-mas

Answer 1

f(x)=bx3 + cx + d

Erst einmal anschaulich:

Da b positiv ist, verläuft die Kurve für wachsende x von -∞ nach +∞. Globale Minima kann es daher nicht geben.

Der Term cx+d beschreibt den Verlauf in der Nähe der y-Achse, also für x≈0. Damit es ein lokales Minimum (und ein Maximum) gibt, muss die Kurve beim Durchgang durch die y-Achse fallen, also c<0, Der Wert von d ist beliebig, da er nur eine Verschiebung des Graphen in y-Richtung bewirkt.

https://www.desmos.com/calculator/pak6qmnpcy

Nun rechnerisch:

\(f'(x)=3bx^2+c\)

\(f''(x)=6bx\)

Notwendige Bedingung \(f'(x)=0 \Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{-c}{3b}}\Rightarrow c\le 0 \)

Für c=0, wäre f(x)=bx³+d. Diese Funktion besitzt bei x=0 einen Sattelpunkt. Für Extrema gilt daher c<0.

Die hinreichende Bedingung f''(x)>0 ist erfüllt, wenn x>0 ist, da 6b>0 nach Voraussetzung gilt.

Es gibt also genau ein Minimum, wenn c<0 gilt.

Zur Exponentialfunktion:

h(x) schwarz; h'(x) blau; h''(x) gelb; h'(x)=0 rot

https://www.desmos.com/calculator/mvm5k6q9uy

Answer 2

Hallo

 einfach die Funktionen differenzieren, und mögliche Nullstellen bestimmen. dann noch untersuchen ob die 2 te Ableitung >0 damit es Minima sind.

deine 2 te Funktion ist $$m*\frac{e^{r*x}}{x-m*a*s}$$? oder steht da e^r*r*x

Gruß lul

Comments

In Anlehnung an

merry x-mas

steht dort wohl r r